El valor más probable

Ninguna medición es exacta y nunca se conoce el valor verdadero de la cantidad que se está midiendo.

Para remediar los errores aleatorios se pueden tomar repetidas observaciones de la misma medida (observaciones redundantes) y valerse de la ley de probabilidades. Siendo n el número de observaciones y Xi el resultado de cada una de ellas, se puede calcular un valor medio, cercano a la medida exacta:

media aritmetica

Este valor contiene un error que se expresa en función de la desviación estándar de las observaciones. Para conocer la desviación estándar (sigma) es necesario averiguar la diferencia entre cada observación y la media, lo que se conoce como residuo o error residual (Vi = Xi – Xmedia); de manera que la desviación estándar de la media es:

desviacion estandar de la media

Cuando se realizan varias observaciones los resultados tienden a acumularse al rededor de la media y a distribuirse de una forma particular, denominada curva de distribución normal. Esta curva tiene una típica forma de campana y sirve para determinar un intervalo dentro del que, con determinada probabilidad, se encuentra el valor exacto (o mejor, más probable) de la medición. La amplitud de la curva también permite conocer la precisión de la observación en conjunto.

distribucion normal

Las anteriores son curvas de distribución normal en las que el eje de las abscisas marca los intervalos de clase, o el tamaño del residuo escogido para la distribución, y el eje de las ordenadas (el vertical) indica la frecuencia de ocurrencia, o el número de observaciones que caen dentro de cada intervalo. La desviación estándar señala el punto de inflexión de cada curva y, como se dijo antes, la amplitud indica la precisión, de manera que las mediciones que se hicieron para obtener la curva roja fueron más precisas que las de la gráfica azul -nótese que la desviación estándar es menor en el primer caso que en el segundo-. El área bajo la curva indica a su vez la probabilidad de error para un determinado valor. Así que, si se quiere tener una certeza del 50% respecto a una medida, se debe calcular el error probable como:

Error probable del 50%

En general, se puede calcular Ep como:

Error probable

En donde Cp es un factor que sale de una gráfica que relaciona el porcentaje del área bajo la curva de probabilidad y el error. En topografía se utilizan comúnmente los errores del 50%, 90%, 95% (o 2·sigma) y 99,7% (o 3·sigma), los cuales tienen su correspondiente factor:

Error probable para varios %

Finalmente se obtiene el valor más probable de la medición como:

valor mas probable

dependiendo de la certeza buscada. El error unitario de la medición se puede calcular con la siguiente expresión:

error unitario

que indica la error que se produjo al medir una unidad, por ejemplo 0,0003 m por cada metro que se mide, y se expresa generalmente como:

precision

y se lee “uno a ‘inverso del error unitario’” y consiste en el grado de precisión de la medición. También se puede evaluar cada observación por aparte, calculando su desviación estándar:

desviacion estandar de la observacion

Nótese que la desviación estándar de la observación difiere en una ‘n’ en el denominador del radical, de la desviación estándar de la media. De igual manera, el error probable será:

Error probable

donde Cp es el mismo factor de más arriba y ‘sigma’ la desviación estándar de la observación.

Los topógrafos suelen usar el error 3 sigma (Cp = 3) para descartar las observaciones que no caigan dentro de ese rango, pues corresponden a equivocaciones.

Ejemplo

Se mide una misma distancia cinco veces con la misma cinta métrica y en iguales condiciones climáticas obteniendo los siguientes resultados: 19,23 m ; 19,19 m ; 19,27 m ; 19,24 m ; 19,21 m . ¿Cuál fue la distancia medida?

Solución

Hay que tabular los datos de la siguiente manera y aplicar lo explicado en este artículo:

Xi (m) V (m) V2 (m2)
19,23 + 0,002 0,000 004
19,19 - 0,038 0,001 444
19,27 + 0,042 0,001 764
19,24 + 0,012 0,000 144
19,21 - 0,018 0,000 324
∑ = 96,14 ∑ = 0,000 ∑ = 0,003 68

Como el número de mediciones es igual a 5, entonces n=5; por lo tanto, la media es:

Xmedia = 96,14 m / 5 = 19,228 m

La desviación estándar se calcula conociendo la sumatoria de los residuos al cuadrado (0,003 68) y la cantidad de observaciones:

sigma= [(0,003 68)/(5*(5-1))]½ = 0,013 56 m

Aplicando la fórmula para un error probable del 50% (Cp = 0,674 5) se tiene:

Ep = 0,674 5 *(0,01356 m) = 0,009 m

Entonces se puede afirmar que existe un 50% de probabilidad de que la distancia sea:

X = 19,228 m ± 0,009 m

Con estos resultados se puede calcular la precisión con la que se efectuó la medida:

E = 0,009 m / 19,228 m = 0,000 47

Que significa que por cada metro que se midió se cometió un error de 0,000 47 m , que expresado como grado de precisión queda:

Precisión = 1 : 19,228 / 0,009 = 1 : 2 142

lo cual quiere decir que, si se midiera con la misma precisión una distancia de 2 142 m , se cometería un error de 1 m .

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Bibliografía

Torres Álvaro y Villate Eduardo. Topografía. Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería y Prentice Hall. Bogotá 2001.

Paul Wolf y Russell Brinker. Topografía. Editorial Alfaomega. 2000

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32 comments

  1. ME PARECE BUENISIMO ESTE METODO DE PEDAGOGIA, LO FELICITO PROFE TIENE UNA EXELENTE PAGINA.

    CREO QUE ES EXLENTE PODER LLEGAR A CASA DESPUES DE VER UNA CLASE DE TOPOGRAFIA Y PODER ENTRAR A LA PAGINA Y ECHAR UN VISTAZO A LO VISTO MOMENTO ANTES. ADEMAS QUE VA MUY SINCRONIZADO CON LOS TEMAS VISTOS.

    QUE BUENO QUE SE PREOCUPEN POR EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES.

  2. @Alfredo: V es el residuo, lee un poco más arriba “Para conocer la desviación estándar (sigma) es necesario averiguar la diferencia entre cada observación y la media, lo que se conoce como residuo o error residual (Vi = Xi – Xmedia)”. La (m) entre paréntesis indica que en el ejercicio de ejemplo el valor del residuo se da en metros.
    Es decir, en el ejemplo debes restar cada valor de Xi (19,23 m ; 19,19 m ; 19,27 m …) menos el valor de la media aritmética (promedio) de esas observaciones (Xmedia= 96,14 m / 5 = 19,228 m), entonces:
    19,230 m – 19,228 m = + 0,002 m
    19,190 m – 19,228 m = – 0,038 m
    … y así sucesivamente

  3. @Darwin: Según lo que entiendo de tu pregunta, tienes diez datos diferentes que indican cuántos días se demoraron diez plantas diferentes en germinar. Entonces debes calcular el valor promedio de la germinación, es decir, sumar los 10 valores diferentes y dividir esa suma en el total de datos, o sea, 10. Luego calculas el residuo de cada uno de los datos, es decir la diferencia entre lo que se demoró cada planta y la duración promedio; y posteriormente el residuo al cuadrado, que es simplemente elevar al cuadrado la cantidad anterior. Lo puedes hacer en una tabla como la que se muestra en el ejemplo.
    Luego aplicas la fórmula que aparece en el artículo y conoces la desviación estándar; que según los datos con los que iniciamos debe estar expresada en días y representa la dispersión de los valores, es decir que tan cerca estuvieron los tiempos de germinación de las diez plantas diferentes.
    Dependiendo del valor de la desviación estándar, o mejor, de la varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar), vas a tener una curva de distribución normal más, o menos, “abierta”.

  4. @Wilder: El error aparente es un concepto similar al residuo, de hecho, es lo mismo: la diferencia entre el valor de cada observación particular (Xi) y el valor más probable (Xmedia). Entonces Ea = Xi-Xmedia.
    Se llama error aparente porque es la magnitud del posible error que se cometió en cada observación.
    Actualización: Puedes obtener mayor información en este documento

  5. Buen dia profesor.
    Mi inquietud es la siguiente:

    para el caso de una cubicacion de un material cualquiera llamese carbon,yeso conformado en foma de cono o meseta y en el cual el levantamiento topografico se hace desde un solo punto y una sola vez debido al volumen a cubicar de otras pilas,se podria determinar el grado de precision de ese levantamiento o el grado de incertidumbre del volumen cubicado o expresar un dato tal como que el volumen de la pila de carbon es de 1130 toneladas (+/-)10 ó 15 toneladas.

    Gracias.

  6. @Ricardo: Primero que todo te pido disculpas por la demora en la respuesta.
    Ahora bien, no creo que puedas expresar un grado de incertidumbre respecto a ese volumen -o cualquier otra medición- si realizas una única medida. Si te remites al segundo párrafo de este post te darás cuenta de que la teoría de errores está basada en observaciones redundantes, es decir, repetidas observaciones de la misma medida.
    Dependiendo del método y los equipos que se utilicen para el levantamiento (taquimetría con mira y estadal o mediante una estación total, por ejemplo) se puede tener una aproximación de la precisión que pueden dar tales herramientas, pero no necesariamente representa el error en la medición, pues puede que hasta el mejor aparato sea mal utilizado.
    Lo que te recomiendo es que si utilizas un método de medidas rápidas (ojalá una estación total en la que no tienes sino que desplazar el prisma) y tienes varias pilas de material adyacentes realices una medida desde un punto, desarmes el aparato y lo armes enseguida en un punto cercano y repitas la medición; con ello tendrías dos valores para comparar y no te quitaría demasiado tiempo. Sin embargo recuerda que entre más datos redundantes se tengan se podrá lograr una mejor aproximación al valor exacto.

    PS: Otra cosa, el volumen lo puedes convertir a masa (toneladas, por ejemplo) sólo si conoces la densidad del material y esta cambia dependiendo del grado de compactación (el porcentaje de vacíos) del material; y si éste está apilado y cada vez se le adiciona más material encima no puedes garantizar una densidad igual en todas las “fases” del arrume.

  7. @Perlita: El 0,013 56 m se refiere a la desviación estándar, que es una medida de la dispersión que han tenido los datos al rededor de un valor medio. Para calcularla, utilizando la fórmula que aparece en el artículo, necesitas conocer dos cosas: la sumatoria de los residuos al cuadrado (V^2) y el número de observaciones o mediciones (n).

    Si miras el ejercicio, la cantidad de observaciones es igual a 5. Por lo tanto, el denominador de la fórmula (n*(n-1)) corresponde a:

    5*(5 – 1) = 5*4 = 20

    Además, según la última tabla del ejemplo, la sumatoria de los residuos al cuadrado da igual a 0,003 68 m^2 . Si divides este resultado en el anterior tienes:

    ( 0,003 68 m^2) / 20 = 0,000 184 m^2

    Ahora, si a ese valor le sacas la raíz cuadrada, como indica finalmente la fórmula, el resultado es:

    raíz (0,000 184 m^2 ) = 0,013 56 m

    Espero haber resuelto tu duda. :D

  8. hola:
    ante todo agradeceria la respuesta.
    kisiera q me ayudes sobre los terminos de topografias, x ejem. el valor probable, residuos, medidas de presicion, aparicion de errores aleatorios. gracias

  9. @Milagros: Hola. Gracias por tu comentario. Me gustaría que intentaras sacar tus propias definiciones a partir de lo que se muestra en este artículo y en las diapositivas que puedes bajar en la página de topografía.
    También pudes bajar el siguiente documento sobre topografía, del profesor Víctor Valencia de la UN Medellín:
    http://www.docentes.unal.edu.co/vgvalenc/docs/Topograf%3fa.pdf
    No sé si encuentres exactamente lo que buscas, pero seguro que vale la pena mirarlo.
    Siento no poder enviarte nada más por ahora a tu correo.

  10. quiero saber como se saca el error probable
    bueno
    si tengo una muestra de 60sacados de 1200 datos como puedo saber cual es el error probable
    y cual el error tipico

  11. yo quiero calcular el volumen de un relleno donde conosco la elevacion es 19.245 mts sobre nivel del mar y el area es 15 mts de frente y de largo es 45 metro como se calcula el volumen o falta algo ayudame

  12. hola buenas noches..kisiera saber si me podia ayudar con la definición de error de probable..necesito la definición xfa y que sea espesifico y un ejemplo!!gracias.

  13. muy buen post profesor, pero tengo una duda, que diferencia hay entre el error probable de la observación y el error probable de la media, y para que serviría el de la observación si ya estas sacando tu error de la medida entonces no entiendo porque tienes que tener en cuenta ese otro error, bueno no se estoy un poco confundido, gracias por contestar :)

  14. cuando me doy cuenta si la desviacion estandar es el unitario o de la media que me pide… si no dice nada al respecto el problema

    /n-1 oooooo /n(n-1)

  15. Hola… mira no te entiendo muy bien la parte del Cp, es decir esa es lo probabilidad dentro de una tabla de probabilidades de distribución normal o de donde lo hallaste?
    Gracias

  16. Tiene un error en el cálculo de la desviación estándar “sigma”. Se debe dividir entre “n-1″ y no entre “n*(n-1)”, ya que esta última es para la desviación estándar de “Xbarra” y aquí se trabaja con la desviación estándar de los “individuos”, es de decir, “X”.

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