Curvas Circulares Simples

Las curvas circulares simples se definen como arcos de circunferencia de un solo radio que son utilizados para unir dos alineamientos rectos de una vía.

Una curva circular simple (CCS) está compuesta de los siguientes elementos:
Curvas Circular Simple

  • Ángulo de deflexión [Δ]: El que se forma con la prolongación de uno de los alineamientos rectos y el siguiente. Puede ser a la izquierda o a la derecha según si está medido en sentido anti-horario o a favor de las manecillas del reloj, respectivamente. Es igual al ángulo central subtendido por el arco (Δ).
  • Tangente [T]: Distancia desde el punto de intersección de las tangentes (PI) -los alineamientos rectos también se conocen con el nombre de tangentes, si se trata del tramo recto que queda entre dos curvas se le llama entretangencia- hasta cualquiera de los puntos de tangencia de la curva (PC o PT).

    T=R\cdot\tan(\frac{\Delta}{2})

  • Radio [R]: El de la circunferencia que describe el arco de la curva.

    R=\frac{T}{\tan\frac{\Delta}{2}}

  • Cuerda larga [CL]: Línea recta que une al punto de tangencia donde comienza la curva (PC) y al punto de tangencia donde termina (PT).

    CL=2\cdot{R}\sin\frac{\Delta}{2}

  • Externa [E]: Distancia desde el PI al punto medio de la curva sobre el arco.

    E=T\tan\frac{\Delta}{4}

    E=R(\frac{1}{\cos(\frac{\Delta}{2})}-1)

  • Ordenada Media [M] (o flecha [F]): Distancia desde el punto medio de la curva hasta el punto medio de la cuerda larga.

    M=R(1-\cos\frac{\Delta}{2})

  • Grado de curvatura [G]: Corresponde al ángulo central subtendido por un arco o una cuerda unidad de determinada longitud, establecida como cuerda unidad (c) o arco unidad (s). Ver más adelante para mayor información.

    G_c = 2\arcsin\frac{c}{2R}

  • Longitud de la curva [L]: Distancia desde el PC hasta el PT recorriendo el arco de la curva, o bien, una poligonal abierta formada por una sucesión de cuerdas rectas de una longitud relativamente corta. Ver más adelante para mayor información.

    L_c=\frac{c\cdot\Delta}{G_c}

Ahora vamos a detenernos en dos aspectos con un poco más de detalle:

Grado de curvatura

Usando arcos unidad:

En este caso la curva se asimila como una sucesión de arcos pequeños (de longitud predeterminada), llamados arcos unidad (s). Comparando el arco de una circunferencia completa (2πR), que subtiende un ángulo de 360º, con un arco unidad (s), que subtiende un ángulo Gs (Grado de curvatura) se tiene:

\frac{2\pi R}{360^\circ}=\frac{s}{G_s}

entonces: G_s=\frac{180\cdot s}{\pi R}

Usando cuerdas unidad:

Grado de curvatura
Este caso es el más común para calcular y materializar (plasmar en el terreno) una curva circular, pues se asume que la curva es una sucesión de tramos rectos de corta longitud (también predeterminada antes de empezar el diseño), llamados cuerda unidad (c). La continuidad de esos tramos rectos se asemeja a la forma del arco de la curva (sin producir un error considerable). Este sistema es mucho más usado porque es más fácil medir en el terreno distancias rectas que distancias curvas (pregunta: ¿Se pueden medir distancias curvas en el terreno utilizando técnicas de topografía?¿cómo?).

Tomando una cuerda unidad (c), inscrita dentro del arco de la curva se forman dos triángulos rectángulos como se muestra en la figura, de donde:

\sin\frac{G_c}{2}=\frac{c/2}{R}

\rightarrow G_c = 2\arcsin\frac{c}{2R}

Longitud de la curva

A partir de la información anterior podemos relacionar longitudes con ángulos centrales, de manera que se tiene:

Usando arcos unidad:

\frac{2\pi R}{360^\circ}=\frac{L_s}{\Delta}

\rightarrow L_s=\frac{\Delta\pi R}{180}

Usando cuerdas unidad:

\frac{L_c}{\Delta}=\frac{c}{G_c}

\rightarrow L_c=\frac{c\Delta}{G_c}

La longitud de una cuerda unidad, o de un arco unidad, se toma comúnmente como 5 m , 10 m , ó 20 m .

Localización de una curva circular

Para calcular y localizar (materializar) una curva circular a menudo se utilizan ángulos de deflexión.

Un ángulo de deflexión (δ) es el que se forma entre cualquier línea tangente a la curva y la cuerda que va desde el punto de tangencia y cualquier otro punto sobre la curva.

Como se observa en la figura, el ángulo de deflexión (δ) es igual a la mitad del ángulo central subtendido por la cuerda en cuestión (Φ).

Entonces se tiene una deflexión para cada cuerda unidad, dada por:

{\delta}_c=\frac{G_c}{2}

Es decir, se puede construir una curva con deflexiones sucesivas desde el PC, midiendo cuerdas unidad desde allí. Sin embargo, rara vez las abscisas del PC o del PT son cerradas (múltiplos exactos de la cuerda unidad), por lo que resulta más sencillo calcular una subcuerda desde el PC hasta la siguiente abscisa cerrada y, de igual manera, desde la última abscisa cerrada antes del PT hasta él.

Para tales subcuerdas se puede calcular una deflexión conociendo primero la deflexión correspondiente a una cuerda de un metro (1 m ) de longitud δm:

\frac{{\delta}_m}{1}=\frac{\delta_c}{c}\rightarrow \frac{{\delta}_m}{1}=\frac{G_c/2}{c}\rightarrow {\delta} _m=\frac{G_c}{2c}

Entonces la deflexión de las subcuerdas se calcula como:

δsc = δm · Longitud de la subcuerda

La deflexión para el PT, desde el PC, según lo anotado, debe ser igual al la mitad del ángulo de deflexión de la curva:

δPT = Δ/2

Lo cual sirve para comprobar la precisión en los cálculos o de la localización en el terreno.

Ejemplo

Para una curva circular simple se tienen los siguientes elementos:

  • Rumbo de la tangente de entrada: N 76º20′ E
  • Rumbo de la tangente de salida: N 19º40′ E
  • Abscisa del punto de intersección de las tangentes, PI: k2+226
  • Coordenadas del PI: 800 N , 700 E
  • Cuerda unidad: 20 m
  • Radio de curvatura: 150 m

Calcular los elementos geométricos de la curva; las abscisas del PC y el PT; las coordenadas del PC, el PT y el centro de la curva; y las deflexiones de la curva.

Solución

  • Elementos geométricos de la curva

El ángulo de deflexión de la curva está dado por la diferencia de los rumbos de los alineamientos (no siempre es así, en este caso sí porque los dos están en el mismo cuadrante NE):

Δ = 76º20′ – 19º40′ = 56º40′ Izquierda

(A la izquierda porque el rumbo de la tangente de salida es menor que el de la de entrada)

Conociendo el radio y el ángulo de deflexión se pueden calcular los demás elementos geométricos:

Tangente: T = R · Tan (Δ/2)

T = 150 m \tan\frac{56^\circ 40'}{2} = 80,879 m

Grado de curvatura: Gc = 2 · Sen-1[ c / (2R) ]

G_c=2\arcsin(\frac{20 m}{2(150m)})=7^\circ38^\prime42,39^{\prime\prime}

Longitud de la curva: Lc = c·Δ/Gc

L_c = \frac{20 m (56^\circ40^\prime)}{7^\circ38^\prime42,39^{\prime\prime}}=148,243 m

Cuerda Larga: CL = 2·RSen(Δ/2)

CL=2(150 m)\sin(\frac{56^\circ40^\prime}{2})=142,380 m

Externa: E = R(1/Cos(Δ/2) – 1)

E = 150 m (\frac{1}{\cos(\frac{56^\circ40^\prime}{2})}-1)=20,416 m

Ordenada Media (Flecha): M = R[1 - Cos(Δ/2)]

M=150 m (1-\cos\frac{56^\circ40^\prime}{2})=17,970 m

Deflexión por cuerda: {\delta}_c=\frac{G_c}{2}

{\delta}_c=\frac{7^\circ38^\prime42,39^{\prime\prime}}{2} = 3^\circ49^\prime21,2^{\prime\prime}

Deflexión por metro: {\delta}_m=\frac{G_c}{2c}

{\delta}_m=\frac{7^\circ38^\prime42,39^{\prime\prime}}{2(20 m)} = 0^\circ11^\prime28,06^{\prime\prime}/m

  • Abscisas del PC y el PT

Conociendo la abscisa del PI y las longitudes, tanto de la tangente (T) como de la curva (Lc):

Abscisa del PC = Abscisa del PI – T
Abscisa del PC = k2 + 226 – 80,879 m = k2 + 145,121

Abscisa del PT = Abscisa del PC + Lc
Abscisa del PT = k2 + 145,121 + 148,243 m = k2 + 293,364

Se debe tener en cuenta que la abscisa del PT se calcula a partir de la del PC y NO del PI, pues la curva acorta distancia respecto a los alineamientos rectos.

  • Coordenadas de los puntos PC, PT y O

Conociendo los rumbos de las tangentes de entrada y salida se pueden calcular sus azimutes:

Azimut del PC al PI = 76º 20′
Azimut del PI al PC = Contra azimut de PC-PI = 76º 20′ + 180º = 256º 20′
Azimut del PC a O = 256º 20′ + 90º = 346º 20′ (porque el radio es perpendicular a la tangente de entrada en el PC)
Azimut del PI al PT = 19º 40′

Nota: Debe tenerse mucho cuidado con el cálculo de estos azimuts, pues las condiciones particulares de cada curva pueden hacer que cambie la manera de calcularlos. Especialmente el hecho de si el ángulo de deflexión es a la izquierda o a la derecha. Lo que yo recomiendo para no cometer errores es, primero que todo, tener bien claro el concepto de azimut, y luego hacer un dibujo representativo para ubicarse, que sea claro y más o menos a escala.

Recordemos que, conociendo las coordenadas de un punto A (NA y EA), las coordenadas de un punto B (NB y EB) se calculan a partir de la distancia y el azimut de la linea que une los dos puntos (AB) así:

NB = NA + DistanciaAB · Cos(AzimutAB)
EB = EA + DistanciaAB · Sen(AzimutAB)

Coordenadas del PI:

800N 700E

Coordenadas del PC:

N = 800 + T·Cos(256º 20′) = 800 + 80,879 Cos(256º 20′)

N = 780,890

E = 700 + T·Sen(256º 20′) = 700 + 80,879 Sen(256º 20′)

E = 621,411

Coordenadas del centro de la curva (O):

N = 780,890 + R·Cos(346º20′) = 780,890 + 150 Cos(346º20′)

N = 926,643

E = 621,411 + R·Sen(346º20′) = 621,411 + 150 Sen(346º20′)

E = 585,970

Coordenadas del PT

N = 800 + T·Cos(19º40′) = 800 + 80,879 Cos(19º40′)

N = 876,161

E = 700 + T·Sen(19º40′) = 700 + 80,879 Sen(19º40′)

E = 727,220

  • Deflexiones de la curva

Para calcular las deflexiones de la curva partimos de las abscisas calculadas para el PC y el PT y dos ángulos que ya están definidos: la deflexión por cuerda y la deflexión por metro.

Como la cuerda unidad es de 20 m quiere decir que las abscisas de la poligonal se vienen marcando a esa distancia, por lo tanto si la abscisa del PC es la k2 + 145,121 , la siguiente abscisa cerrada corresponde a la k2 + 160 (no la k2 + 150 porque no es múltiplo de 20, es decir, si empezamos desde la k0 + 000 sumando de 20 en 20 no llegamos a la k2 + 150 sino a la k2 + 160). Esto genera una subcuerda, cuya longitud se calcula como la diferencia entre las dos abscisas:

  • Subcuerda de entrada: 2 160 m – 2 145,121 m = 14,879 m

Ahora, si ya se había calculado que por cada metro de curva existe una deflexión δm=0º11’28,06”, para la primera subcuerda tenemos una deflexión (correspondiente a la abscisa k2 + 160) de:

  • Deflexión para la abscisa k2 + 160 = 14,879 m * 0º11’28,06” = 2º50’37,64”

A partir de la abscisa k2 + 160 siguen abscisas cerradas cada 20 m (de acuerdo a la longitud de la cuerda unidad), hasta llegar al PC, y la deflexión para cada una de las abscisas siguientes corresponde a la suma de la anterior con la deflexión por cuerda:

  • Deflexión para la k2+180 = 2º50’37,64” + 3º49’21,2” = 6º39’58.84”
  • Deflexión para la k2+200 = 6º39’58.84” + 3º49’21,2” = 10º29’20,04”
  • Deflexión para la k2+220 = 10º29’20,04” + 3º49’21,2” = 14º18’41,24”
  • Deflexión para la k2+240 = 14º18’41,24” + 3º49’21,2” = 18º08’02,44”
  • Deflexión para la k2+260 = 18º08’02,44” + 3º49’21,2” = 21º57’23,64”
  • Deflexión para la k2+280 = 21º57’23,64” + 3º49’21,2” = 25º46’44,84”

Pero ahí hay que parar porque la abscisa del PT es la k2 + 293,364 , por lo tanto se genera otra subcuerda, la de salida, que se calcula de manera similar a la de entrada:

  • Subcuerda de salida: 2 293,364 m – 2 280 m = 13,364

Y de la misma manera, la deflexión para la subcuerda es de:

  • Deflexión para la subcuerda de salida = 13,364 m * 0º11’28,06” = 2º33’15,23”

Así que al final, la deflexión para el PT es:

  • Deflexión para la k2+293,364 = 25º46’44,84” + 2º33’15,23” = 28º20’00,07”

La cual, según lo visto en el artículo, debe corresponder con la mitad del ángulo de deflexión de la curva:

28^\circ20^\prime00,07^{\prime\prime} \approx \frac{56^\circ40^\prime}{2} = 28^\circ20^\prime

Con esta información se construye la cartera de deflexiones, que va a ser la que permita materializar la curva en el terreno, pues es la que recibe el topógrafo para hacer su trabajo. A continuación se muestran las tres primeras que debe contener dicha cartera. Las otras tres, hacen referencia a los elementos que ya se calcularon a lo largo de este artículo (es necesario reescribirlos dentro de la cartera), el azimut de los alineamientos rectos (de entrada y salida), y el sentido en el que se deflectará la curva (en este ejemplo desde el PC hasta el PT, que es el sentido en el que aumenta la deflexión). Nótese que la cartera está escrita de abajo hacia arriba, para facilitar el trabajo de los topógrafos.

ESTACIÓN ABSCISA DEFLEXIÓN
PT k2+293,364 28º20’00,07”
  K2+280 25º46’44,84”
  K2+260 21º57’23,64”
  K2+240 18º08’02,44”
  K2+220 14º18’41,24”
  K2+200 10º29’20,04”
  K2+180 6º39’58.84”
  K2+160 2º50’37,64”
PC k2+145,121 0º00’00”

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Bibliografía

Cárdenas Grisales, James. Diseño Geométrico de Carreteras. Ecoe ediciones. Bogotá. 2002. Código topográfico de la Biblioteca de la Universidad: 625.7 C266 di

Las ecuaciones mostradas en este artículos están hechas usando \LaTeX en el Interactive Latex Equation Editor de Sitmo, disponible en http://www.sitmo.com/latex

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129 comments

  1. Muy bueno y clara su explicacion del calculo de la curva, pero podria atravez de unos graficos, explicar el proceso en el campo.
    gracias

    1. SOY INGENIERO GEODESTA DE LA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SINALOA MEXICO PARA EVITARNOS TANTA FARAMALLA EN CAMPO HACEMOS VER LAS CURVAS CIRCULARE, ESPIRALES Y VERTICALES MAS FACIL DE CALCULAR DE LO K KRES Y RAPIDAS

  2. seria bueno que pusieran mas del como calcular la superficie de un terreno mediante el metodo VIA COORDENADAD y asi usar unos ejemplos para una mejor comprencion

  3. @Esteban: Muy buena idea, lo que pasa es que el ejercicio de ejemplo no està terminado, falta la cartera de las deflexiones de la curva y bien podrìa estar acompañado de unas gràficas. Dàme un tiempo y las harè. La cosa es que no he querido simplemente escanear las que aparecen en los libros por cuestiones de derechos de autor ;)

    @agus: Me parece que el càlculo de áreas por coordenadas es más un tema de topografía y ya lo vimos en clase con mis alumnos, se me hizo un tanto sencillo y por eso no lo he puesto en el blog, pero a tu pedido voy a ver si por lo menos la explicación la publico, per búscalo bajo la categoría asignaruras/topografía

  4. Hola me parece muy buena esta pagina, realmente he aclarado muchas dudas pero creo que deberia haber algunos ejemplos donde el angulo de deflexion sea negativo ya que asi cambian las formulas para el calculo de coordenadas. gracias

  5. @Benajmín, William y Sara: Muchas gracias ;)

    @Sara: Tienes razón, el cálculo de las coordenadas cambia si la curva es hacia la izquierda (ángulo de deflexión negativo), vale la pena hacer la salvedad. Aunque yo pienso que para evitar confusiones lo más fácil es realizar un dibujo a mano alzada aproximado de la situación y ubicarte mejor.

    1. CLARO SIEMPRE HAY QUE TENER EN CUENTA LOS AZIMUT DE ENTRADA DEL PC AL PI U UBICARTE EN EL CUADRANTE SI HACES ESO MAL DESDE EL INICIO ESTAS PERDIDIO TODO LOO QUE CALCULES ESTARIA MAL

  6. @Juan: Lamentablemente no tengo información sobre proyectos de túneles, pero tal vez en la página del Instituto Nacional de Vías -INVIAS- (yo he tenido problemas para ingresar últimamente) y consultar sobre el proyecto del túnel de la línea. Lo siento

  7. esta muy bien esta pagina, pero queria saber si no tendran textos sobre curva masa de terracerias de un camino, es para un trabajo…se los agradeceria mucho.gracias

  8. @Juan M: Muchas gracias por tu comentario. El diagrama de masas para una carretera lo vamos a ver esta semana con mis estudiantes, pero por ahora no tengo preparado el post para ponerlo en esta página, lo siento. Por ahora te puedo dar como referencia estos dos libros que hablan un poco del tema:

    Chocontá Rojas, Pedro Antonio. Diseño Geométrico de Vías. Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá. 1998.
    McCormac, Jack. Topografía. Limusa Wiley. 2005.

    Además buscando por ahí en internet puedes encontrar mucha más información.

  9. la exposicion de los elementos es entendible pero le falta otros elementos como o porque seligan a curvas de transisicon como se calcula sobre ancho de la curva y la sobrelevacion (peralte) espero que puedan ampliar esta información

  10. @José Antonio: Gracias. Es cierto que faltan esos temas, pero ten en cuenta que este post es únicamente sobre curvas circulares simples. Espero publicar el mes entrante otros temas como los que tu dices.

  11. @Leticia: Yo no sé cómo! El grado de curvatura define que tan “cerrada” es una curva y es una función directa del radio, es decir, curvas con diferentes radios tienen diferentes grados de curvatura para la misma cuerda (o arco) unidad, así tengan el mismo ángulo de deflexión. Para que quede más claro te pongo esta gráfica.
    La única opción que yo veo es que despejes el radio de alguna otra fórmula, por ejemplo dejarlo en función del delta y la tangente, pero igualmente lleva implícito el radio, además dices que sin despejar. :(

  12. habiendo buscado encontre algunas formulas que se utiliza en el diseño de curvas horizontales, solo quiero saber como debe quedar el trazo con las progresivas y el PI, debe concordar las medidas con la progresiva del PI o puede desfasarse quiero por favor que me expliques

  13. @Simeon: Según te entiendo te refieres a la diferencia en la localización del PT cuando se materializa por la curva (siguiendo las cuerdas y subcuerdas) y cuando se ubica desde el PI (midiendo la tangente, T).
    Es lógico que los dos puntos no van a coincidir en el terreno (a pesar de que en el diseño sí lo hacen) porque han sido trazados de manera diferente y en el campo no puedes medir con la precisión que diseñas (debido a las aproximaciones de los aparatos). En Colombia aceptamos como válido un error de cierre, en longitud, equivalente a 1 cm por cada cuerda y subcuerda que se haya medido; el error angular admisible corresponde a la aproximación del aparato (teodolito, tránsito, estación, etc.) igualmente por cada cuerda y subcuerda subtendida.
    Por ejemplo, para el ejercicio del post se tienen dos subcuerdas (una a la entrada entre el PC y el k2+160 y otra entre el k2+280 y el PT) y 6 cuerdas (de 20 m ). Por lo tanto, la máxima diferencia que debe existir entre el PT materializado desde el PI y el que sale del último punto localizado con las deflexiones será:
    En longitud: 1 cm * 8 cuerdas y subcuerdas = 8 cm
    En ángulo (suponiendo que la curva se traza con un teodolito de aproximación a los 10″): 10″ * 8 cuerdas y subcuerdas = 80″ = 0º01’20″
    Existen otros parámetros para definir cuál puede ser el desfase máximo, pero no los tengo a mano en este momento. Voy a averiguarlos y luego los pongo en otro comentario ;) También los puedes buscar en el libro: Diseño de Carreteras: Técnicas y Análisis del Proyecto de Paulo Emilio Bravo.
    PD: Simeon: Trata de mejorar tu ortografía :)

  14. ..hola como estas, mira quisera saber si tenes algo respecto a DEFLEXION para el calculo de BPR…resultan de la medicion que realiza un equipo que mide la rugocidad del camino…no tengo mas datos tan solo esa informacion…muchas gracias desde ya.-

  15. @Sebas: Lamento no poder ayudarte como quisiera, pero los pavimentos no son mi fuerte. Sin embargo, averiguando por ahí, sé que el BPR viene de Bureau of Public Roadas y que efectivamente tienen un método para medir la rugosidad en los pavimentos. Puedes intentar una búsqueda en google (o cualquier otro buscador) de los siguientes términos: “bpr roughometer”; es mejor en inglés porque generalmente se encuentra más información sobre ingeniería en ese idioma, más aún cuando se trata de una entidad de los Estados Unidos.

  16. Edgar,
    ¿como se halla o se obtiene el radio de curvatura? Tengo duda si sale por alguna tabla o por formula. Dependiendo, por favor enviar la información.
    Gracias

  17. @Javier: El radio de curvatura se puede calcular si se conoce la longitud de la tangente y el ángulo de deflexión, utilizando la fórmula que aparece en el artículo (y que vimos en clase). Esta es una buena opción para controlar el traslapo de curvas cuando los tramos rectos son muy cortos.
    De todos modos, el método más empleado es escoger un radio mínimo de diseño en función de la velocidad específica y, a partir de allí aumentarlo según lo crea conveniente el diseñador. Para tal efecto se puede uno valer de las tablas que aparecen en el Manual de Diseño Geométrico para Carreteras del INVIAS. En este archivo aparecen el radio y el peralte (esto lo vemos después) en función de la velocidad específica interpolada cada 1 km/h.

  18. quisiera saber como podria encontrar las progresivas de una carretera con curvas simples, tomando en cuenta q tienes como dato el angulo, T, Lc, M, E, y tambien tienes como dato el primer PC y el primer PT y el primer PI, y tambien tengo los datos de las distancias entre cada PI, pero no puedo usar estos ultimos datos para hallar los PC’s y los PT’s ya q existiria una error por curvatura, q metodo puedo usar o q formula q no sea con coordenadas, sino con progresivas, para poder hallar las demás PC’s y PT’s?
    tengo mas o menos una idea de hallar el PI como el PC menos la mitad de la longitud de la curva pero tendria q sumarla a la distancia entre el siguiente PC menos el PT anterior mas la suma de la longitud de curva siguiente, pero como mierda hallo esa distancia? :S ayuda por favor!

  19. @Enzo: Primero que todo te pido disculpas por la demora en contestar. Pero es que he tenido dificultades para entender cuál es exactamente el problema. Lo he leído en varias ocasiones y lo he discutido con mis compañeros. Así que no sé si le pegué a lo que preguntas:

    Para empezar, en Colombia no utilizamos el término “progresivas”. Supongo entonces que se refiere a las abscisas, es decir, el kilometraje que marca el eje de la vía a partir de un punto de referencia.

    Ahora, lo que entiendo del problema es que tienes una primera curva, de la que conoces las abscisas (progresivas) del PC, el PI y el PT; pero no tienes sus elementos (T, R, Lc, M, E, etc.). Luego tienes otra curva, que sigue a la anterior. De la cual conoces sus elementos, pero no sus abscisas (progresivas). Adicionalmente, tienes la distancia entre los PI de cada curva. El problema radica en conocer las abscisas de la segunda, ¿cierto?.

    Entonces, de la primera curva puedes obtener el valor de su tangente (T1) a partir de las abscisas que conoces. Pues está dada por la del PI menos la del PC:
    T = PI – PC
    Como tu lo mencionas, hay que tener cuidado de no hacerlo con el PT menos el PI, debido al “error de curvatura”, que no es un error, sino una propiedad: la curva recorta camino respecto a los trazos rectos.

    Como la tangente de una curva circular simple es la misma tanto a la entrada como a la salida, y conoces la tangente de la segunda curva, puedes calcular la entretangencia, es decir, la distancia entre el PT1 y el PC2. Tal longitud está dada por la siguiente expresión:
    EntreTangencia = Distancia entre PI’s – (T1+T2)

    Ahora, esa distancia de entretangencia se le suma a la abscisa (progresiva) del PT1 y obtienes la correspondiente abscisa del PC de la segunda curva. Luego le sumas la longitud de la curva y tienes como resultado el PT.

    Espero haber sido de ayuda :)

    La próxima vez no te desesperes y haz un dibujo que te pueda ayudar a entender mejor la situación. Y, por favor, trata de no poner palabras fuertes en tus comentarios.

    Hasta pronto.

  20. uy!
    muchas gracias, me ayudaste muchisimo! :D
    y pues si te demoraste en contestar un poco realmente le diste en el clavo y muchas gracia spor la ayuda eso era lo q queria saber :D
    tengo otra duda, no se si podras postearala porfa!
    necesito una “guia” de como construir una curva de transicion, y cuales son los elementos básicos q debo hallar, tengo una pero me pide demasiados elementos y se hace toda una telaraña q a una gran escala se hace imposible definir….
    luego quiesiera saber cual seria la distancia mínima que debería haber entre una curva compuesta inversa, segun una norma fije 30 m, pero no se si vaya a ser correcto, me dijeron q la distancia no importa, que la transicion del peralte se realiza inclusive si no existe distancia entre estas curvas inversas, es cierto esto?
    muchas gracias por la ayuda! :D:D:D
    PD: sry por la palabra fuerte, estsba desesperado a las 3 de la mañana con esta duda y no sabia a quien acudir y me sentia un poco frustrado xD

  21. Muy interesante el desarrollo del problema.
    Les pido un gran favor: necesito saber como encontrar el rumbo de la longitud corta de una curva circular simetrica, si los unicos datos que tengo son: el rumbo de la tangente de entrada y el angulo interno de la curva.

  22. Queria felicitarlos por tan excelente pagina, me ha sido de gran ayuda todas las cosas que he encontre aqui, los temas estan muy bien explicados de una forma clara y sencilla, de verdad muchas felicitaciones, y gracias por colaborarnos con nuestros estudios.

  23. @Antonio Peralta: Qué pena por la demora en contestar, no había visto el comentario.
    Primero que todo, asumo que la longitud corta de la curva es igual a la cuerda larga de la que habla este artículo. Para calcular su rumbo, conocido el de la tangente de entrada, es necesario recordar que la cuerda larga corresponde a la deflexión hasta el PT. Por lo tanto, esa deflexión es igual a la mitad del ángulo de deflexión completo de la curva (Δ), el cual es el mismo ángulo interno al que te refieres (según los dibujos que aparecen en el post).

    Ahora bien, a mi me gusta más trabajar con azimutes en lugar de rumbos. De esa manera, tienes que la dirección de la cuerda larga está dada por el azimut de la tangente de entrada más la mitad del ángulo interno de la curva. Teniendo en cuenta que ese último ángulo es positivo o negativo, según si la curva es a la derecha o a la izquierda. Finalmente, el resultado lo conviertes nuevamente a rumbo y tienes tu respuesta.

    Si no recuerdas bien cómo convertir entre rumbos y azimutes, te recomiendo que leas este post:
    https://doblevia.wordpress.com/2007/07/25/direccion-de-una-linea-rumbo-y-azimut/

  24. @Enzo: La distancia mínima entre curvas inversas está dada por la longitud de transición del peralte de las dos curvas, específicamente los tramos que se desarrollan sobre la recta.
    No tengo en este momento información más detallada ni completa. Tampoco sobre las curvas de transición. Por ahora sólo hay un esbozo en https://doblevia.wordpress.com/2007/09/03/curvas-espirales-de-transicion/

    Puedes seguir buscando en internet que seguro encontrarás buena información.

    De nuevo, siento mucho la demora :(

    @Pedro: Muchas gracias. Para eso estamos :)

  25. Esta muy bien todo esto, gracias, me a servido arto. Pero me gustaría preguntar si alguien tiene las normas de INVIAS en la que se encuentran el radio mínimo y la cuerda mínima y todo aquello para ya pasar a la construcción real.
    Ozkarjj_66@hot..

  26. @ Eduar: No tengo nada preparado para subir al blog, pero te puedo dar indicaciones acá.
    La idea en el trazo de la curva desde el PI es bastante similar a la explicada en este post, pues se trata de ubicar puntos a lo largo de la curva, mediante ángulos de deflexión y distancias. Los dos medidos desde el PI.
    El ángulo de deflexión (a, le voy a llamar) se mide haciendo estación en el PI, con ceros en el PC y, lógicamente, hacia el interior de la curva. La distancia (PI.P en la fórmula) es entre el PI y la correspondiente abscisa sobre la curva.
    Entonces, los dos valores se calculan así:

    a = arctan[{ 1 - Cos(phi) } / { tan(Δ/2) - Sen(phi) }]
    PI.P = R * raíz [{ tan(Δ/2) - Sen(phi) } ^2 + { 1 - Cos(phi) } ^2 ]

    Donde “phi” es la deflexión en el centro de la curva para la abscisa correspondiente, es decir, el doble de la deflexión calculada por el método que se explica en esta entrada.
    Los demás símbolos corresponden a los explicados en el post.

    Disculpa el formato de las ecuaciones ;) Es que los comentarios no soportan LaTeX

  27. Tengo una duda, ¿porque utilizar la Lc para calcular la abscisa del PT?, lo que pasa es que al hacerlo así al trazar en el campo la última deflexión de la abscisa de la estación PT, me estoy saliendo 1 metro de la curva. ¿No sería más adecuado utilizar la CM, cabe mencionar que estoy utilizando AutoCAD para trazar la curva y luego si funciona pienso darle los datos al topógrafo.
    Gracias por la ayuda

  28. hola, kisiera saberen ke otras paginas se encuentran ejercicios de curvas compuestas, y todo tipo de ejercicios de diseño geometrico de vias. y otra duca, ke calculadora es la mejor para esta area, comparando factores como potencia de la calculadora, capacidad, programas ya hechos, facilidad de programacion de estos. Segun yu criterio cula es la mejor calculadora, casio, texas o hp, y ke referencia?

  29. @ Edgar Ace: Debes estar cometiendo algún error en los cálculos. La abscisa del PT se calcula con la longitud de la curva porque la carretera va por la curva, no se salta por la cuerda larga. Las abscisas llevan la longitud de la vía en una proyección horizontal (en planta), que es como se mide en topografía, por lo tanto, tienen que reflejar la distancia sobre los elementos que están destinados para el tránsito de los vehículos.
    Si quieres, te puedes apoyar en la respuesta al comentario de Enzo, más arriba, para solucionar tu duda.

    @ Andrea: Cuando yo estaba estudiando el pregrado utilizaba (y todavía la tengo, pero la uso menos) una Casio FX-880P. Es muy fácil de programar y tiene muchas librerías incluidas. Sin embargo, esa es un poquito vieja. No sé cuál de las nuevas sea mejor. Lo que sí te puedo decir es que el diseño geométrico de vías no requiere cálculos de extrema complejidad y, por ende, la mayoría de calculadoras son útiles. Me parece que si estás buscando una, la facilidad y agilidad en la programación deben ser factores importantes a evaluar (para poder hacer tus tareas más rápido).
    Respecto a los ejercicios de curvas compuestas, te recomiendo el libro de Diseño Geométrico de Carreteras de James Cárdenas Grisales.

    @ Cristian: Para las deflexiones desde el PI, por favor revisa la respuesta al comentario de Eduar (un par de comentarios más arriba del tuyo).
    Las deflexiones desde el PT son exactamente iguales a las del PC explicadas en este artículo, sólo cambia el hecho de que vas al revés (en el sentido contrario al de diseño) y, por ello, cambian las longitudes de las subcuerdas.

  30. Olaz Soy Uan ALumnA D la UNA-PUNO (PERU) D la Escuela ProfesiOnal Ing TopoGRáfiK Y agRIMenSuRa, Weno Lo Q quiero PedirT eS q no C Si Podras pOnER aLGUNa InformacIÓn AcerK D “LOS MÉTODOS DE DEFLEXIÓN DE CURVAS HORIZONTRALES”. .. oSEA cóMo Cuántos hay +/- te lo agradeceria Muxo ya Q M UrG Pa’ Poder PreseNTarLo E

  31. @ Roberto: La tangente te sirve para determinar dónde quedan el PC y el PT cuando armas un aparato (estación o teodolito) en el PI. El desarrollo circular te sirve para construir la curva desde el PC (si así se diseñó). Es decir, te paras en el PC y empiezas a medir los ángulos y las distancias que te indiquen la cartera del desarrollo (mejor: deflexión para cada abscisa).

  32. Que tal colegas como les va
    Si alguien me puede ayudar con esto:
    Determinacion del area de una poligonal mediante coordenadas
    gracias por su ayuda
    Por cierto que pagina para exelente nos viene bien a los nuevos

  33. hola colegas tengo una duda:
    con respecto al angulo de deflexion, si ya tengo el nombre el PI como hago en campo para conocer el angulo de deflexion y el angulo central de la curvatura central si para ello tengo que tener el radio ayuda porfavor

  34. @ David P: Lo siento, todavía no tengo preparado un post para el cálculo de áreas por coordenadas. De todos modos, muchas gracias por tu visita.

    @ Tyto: Lo más probable es que conozcas la poligonal que forma el eje de la vía, pues si conoces el PI, debes conocer el alineamiento de la tangente de entrada y el de la de salida. Esto es, debes tener dos líneas rectas que se cruzan en el PI.
    Entonces, el ángulo de deflexión es el que mides con un teodolito armado en el PI, que tiene ceros puestos en la dirección de la proyección de la tangente de entrada (o sea, miras hacia la primera línea, pones ceros, y le das vuelta al objetivo -transitas- del aparato), hacia la tangente de salida.
    Luego de que midas el ángulo de deflexión, éste es el mismo ángulo central de la curva. Por último, el ángulo no depende del radio de curvatura. Por lo general, el radio se escoge según la velocidad de diseño planteada.

  35. muchas gracias, muchas gracias,por la ayuda no sabes cuanto me ayudastes, ahora si entiendo, pero me surguio una nueva pregunta, me puedes explicar como le hago en campo para replantear una curva circular simple por el metodo de coordenadas polares te lo agradeceria mucho,
    ademas tu pagina es muy buena saludos a todos y aprovechenla

  36. @ Tyto: Me alegra mucho haberte ayudado. Siento mucho no poder hacerlo en ocasiones por falta de tiempo.
    Si he de serte sincero, no había oído sobre el replanteo de curvas simples por coordenadas polares (o no recuerdo y no tengo un libro en este momento). Pero como este tipo de localización se refiere a dos ángulos, se me ocurre que se trata de medir deflexiones simultáneas.
    Es decir, puedes calcular la curva en los dos sentidos (PC-PT y PT-PC). Las carteras van a ser similares, pero unos ángulos serán derechos y otros izquierdos. En el primer caso las deflexiones aumentarán, y en el segundo decrecerán.
    Luego necesitas dos teodolitos o estaciones, una en el PC y otra en el PT. Simplemente mides desde cada uno (con ceros en el PI para ambos) la deflexión para la misma abscisa. La intersección de las dos visuales indicará el punto al que corresponde a las progresivas del interior de la curva. De esta manera te ahorras la medición de distancias.
    Espero que sea esto ;)
    Hasta pronto y muchas gracias.

  37. Nuevamente, los saludo, quiero que me den una explicación de un método de cálculo de Rumbos de una poligonal cerrada, a partir de los angulos internos de dicha poligonal cerrada

  38. esta buenisimo el contenido y los ejemplos pero me gustaria saber como se dise;a una curva con un angulo central mayor a 180`y como se llena la cartera

  39. oye disculpa, esta interesante la explicacion pero tengo una duda en como aplicas las sobre elevaciones en las curvas, las tablas qe maneja la SCT en mexico solo te especifican la sobre elevacion maxima qe puede tener la curva en el punto critico, como puedo calcular la sobre elevacion a cualqier punto de la curva, todo esto para el diseño de la seccion.
    gracias

    1. MIRA LA SOBRE ELEVACIÓN ESTA DADA EN LA TABLA DE LAS NORMAS DE LA SCT MÉXICO DEPENDIENDO DE LA VELOCIDAD DE PROYECTO MÁXIMA QUE TENGA TU CARRETEARA PUEDE SER TRANSICIÓN DE 105,135 ESTO LO DIVIDES ENTRE DOS EJEMPLO PC DE LA URVA 159+005.616, DE AHI ATRÁS SERIAN 52.5 M EN LOS QUE TIENES QUE CAMBIAR A AL SOBRELEVACION DEL 5.20 % XK NO ES LÓGICO QUE HAGAS UN CAMBIO DE PENDIENTE DE REPENTE TAMBIEN EXISTE UNA TRANSICION DE SALIDA DE IGUAL DE 52.5M DESDE EL PT HACIA TRAR Y ADELANTE

  40. Muchos Saludos Edgar y colegas. Tal como ven soy William y resido en Puerto Rico donde estudio Ing. Civil. Tengo 36 y a veces los temas espinosos se me hacen un poquito mas dificiles de entender; pero a la verdad que con explicaciones como esta las cosas se le hacen mucho mas sencillas a uno.

    Es digno de admirar como un muchacho tan joven tenga la habilidad de “transmitir conocimiento” tan eficientemente. Adelante y muchas gracias.

  41. hola soy cesar recien egresado de sencico si alguien me podria ayudar en lo que son elementos de la curva pero en programas de calculadoras se lo agradeceria mucho

  42. gracias por lo claro de tus explicaciones. tengo una pregunta a partir de que grado de curvatura se debe de considerar o tomar en cuenta el peralte y cual en la maxima pendiente que se debe tener en cuenta en un peralte. gracaias

    1. @Raul:
      Muchas gracias por tus comentarios. Respecto a tu pregunta, resulta que el peralte es una característica para mejorar la seguridad de las curvas horizontales, no es un lujo. Por eso, todas las curvas horizontales deben tener peralte, independientemente de su radio, deflexión o grado de curvatura. Si bien las curvas con radios más grandes (grado de curvatura menor) tienden a requerir menor peralte.
      Ahora bien, también por razones de seguridad el peralte se debe mantener por debajo de cierto valor. Cuando se realiza el análisis físico y matemático para determinar el peralte necesario se asume que los vehículos son un cuerpo rígido cuya forma no interesa. Sin embargo, en la realidad, el centro de gravedad de los diferentes automotores está ubicado en sitios diferentes. En especial, los vehículos altos (buses y camiones) tienen el centro de gravedad mucho más alto. De manera que el peralte excesivo (al estilo de los óvalos de la Fórmula Cart o Nascar) puede desestabilizarlos y provocar un volcamiento, en especial a bajas velocidades.
      Teniendo esto en cuenta, en Colombia el peralte máximo recomendado es del 8%. Antes de 1998 era del 10%, pero ya disminuyó. Sin embargo, el peralte máximo puede ser menor cuando se trata de una carretera de montaña, cuya pendiente longitudinal sea muy alta. Esto, debido a que la combinación de peralte y pendiente muy altos genera una “pendiente relativa de los bordes respecto al eje” muy alta.
      Espero haber solucionado tus dudas.

  43. hola!! me gustaria saber en que influye el sentido de un angulo de deflexion en el calculo de una cartera de una curva circular siemple.por favor necesito ayuda ,tengo parcial mañana!!!!!!!!!!

    espero tu respuesta ,gracias

  44. MUY BUENAS NOCHES. AMIGO TENGO UNA INTERROGANTE PARA QUIEN PUEDA RESPONDERME. PORQUE EL DIAGRAMA DE CURVATURA PARA UN ACUERDO HORIZONTAL ES DIFERENTE QUE PARA UN ACUERDO ESPIRAL – CIRCULO ??
    PIENSO QUE PORQUE LA TRANSICIÓN SOLAMENTE ES REPRESENTADA NADA MAS QUE EN EL ACUERDO CIRCULO – ESPIRAL.

  45. saludos , la pag. esta muy interesante ,tengo un proyecto de carreteras de la universidad donde estudio ing. civil( republica dominicana ) , es de topografia , donde mediante el levantamiento obtenido tengo una duda en las curvas horizontales , en mi trazado tengo 2 curvas simples y una inversa , se nos facilitan las velocidades maximas en cada curva para encontrar el radio minimo , mi problema esta en que aun utilizando el radio minimo el pt de una curva me queda un poco mas adelante que el pc de la curva siguiente , por que la distancia es muy corta , quisiera saber si esto es posible o si deberia cambiar el diseño de los radios anteriores , les agradeceria quien me pudiera aclarar esta duda ?

    1. OJO LAS CURVAS INVERASAS NO EXISTEN A MENOS QUE ESTES HABLANDO DE UNA DEFLEXION NEGATIVA O UNA CURVA VERTICAL TE SUGIERO QUE LAS CURVAS CIRCULARES QUE TIENES LAS ACOMPAÑES DE ESPIRALES DE ENTRADA Y SALIDA CON LONGITUDES NO MAS DE 80M. POR SABIDO ESTA QUE LAS ESPIORALES DE ENTRADA Y SALIDA SON UNA TRANSICION CON RADIO INFINITO antes de entara la circular

  46. Muchas gracias, tu explicación impecable me sirvió de mucho; ojalá sigas con éstos artículos tan interesantes para nosotros los que de alguna u otra forma tenemos que ver con el mundo de la ingeniería.

    Gracias.

  47. hola ,como estas? muchas gracias por la informacion que nos ofreces en tu blog , quisiera preguntarte algo que me lleva rondando en la cabeza , el problema es que a la hora de hallar coordenadas de una curva circular simple los calculos no me salen bien por que no se si tengo que restar o sumar las deflexiones si la curva circular simple es izquierda o derecha ,ademas si se deflecta desde el PC O PT ,como me podria guiar??? ,espero tu respuesta ,gracias

    1. Gracias… deseo obtener un poco de información sobre la localización de las curvas en campo, cuando no es posible hacer la deflexión de la curva por motivos de visibilidad. ¿Cuál es el procedimiento a seguir, si ya localicé dos puntos de la deflexión y el tercero esta obstaculizado por alguna cosa?¿De qué forma puedo localizar mi tercera deflexión con su respectiva cuerda?

  48. bueno las preguntas de parte del publico son absueltas con efectividad ya que los concejos y tecnicas son efectivas y precisas al momemto de aplicarlas en un trabajo de ingenieria. gracias espero q me manden mensajes de ing civil a mi correo en especial de carreteras bay.

  49. quiero saber como puedo demostrar la formula de la ordenada media…?? yo se trabajar con ella pero lo k no se es como demostrar de donde sale.. yo espero k me ayuden en eso……

  50. gracias por tan buena información laboral-mente es la mejor herramienta que ten de nuevo de nuevo mil gracias es pero me tenga en cuenta para los programas mas atuales

  51. Doblevia, te agradezco por las enseñanzas que lo das en forma desinteresada, particularmente en el campo de la topografia, tengo una pregunta que metodo puedo utilizar para calcular una curva vertical.. gracias

  52. Hola, muy buena explicación y forma de plantear el problema, solo que sigo teniendo la duda, de ¿porque no coincide el PT de la curva? si en lugar de sumarle al PC la Longitud de la curva, le sumo PI la tangente, se supone que al ser una curva simple este punto debería de coincidir, como en el ejemplo que expone, donde:
    Abscisa del PC = k2 + 226 – 80,879 m = k2 + 145,121
    Abscisa del PT = Abscisa del PC + Lc
    Abscisa del PT = k2 + 145,121 + 148,243 m = k2 + 293,364
    Con estos datos al momento de dibujar la curva en autocad (por ejemplo) observo que no existe la perpendicularidad del radio con la tangente de salida, ademas de que varios datos cambian como logitudes y angulos, en cambio si yo utilizo para encontrar la abscisa en PC la deducción de:
    k2 + 226 +80,879 m= K2 + 306.879
    si se puede dibujar la curva con la presición de los calculos hechos, pero donde se presentan los problemas otraves, es en el calculo de las deflexiones ya que si se utiliza el sistema que se propone en el ejercicio queda sobrepasado el delta entre dos que es la suma total de las deflexiones.
    Ojala me lo pudieran aclarar, gracias de antemano.

      1. Otravez yo, ya entendi como esta el asunto del dibujo (bastaba ponerme a terminarlo) aunque mi deducción de sumar la tangente al PI es correcta, no tome en cuenta que el cadenamiento o kilometraje va a disminuir, entonces lo que se debería de aclarar es que según se vaya avanzando sobre la linea o eje central del camino el cadenamiento o kilometraje de nuestro proyecto va cambiando.
        Gracias.

    1. Bernardo: El cadenamiento (abscisado) se tiene que calcular con la longitud de la curva y no con las tangentes. Si bien geométricamente el PT coincide independientemente de si se materializa utilzando el PC y la longitud de la curva (y las respectivas deflexiones) o utilizando el PI y la tangente (y la deflexión de la curva), el abscisado tiene implicaciones prácticas más allá de la materialización del diseño geométrico.
      Debes tener en cuenta que la carretera finalmente pasará por la curva (extendiéndose por una longitud igual a la longitud de la curva) y no por las tangentes. Si piensas en una carretera de montaña, por ejemplo, el PI y las tangentes pueden quedar perfectamente “en el aire”.
      De manera que el abscisado debe ser obligatoriamente por la curva, pues es lo que finalmente se va a construir. En otras palabras, lo que se va a pagar al constructor.
      Otro ejemplo práctico es la señalización, si el abscisado se hiciera por las tangentes las distancias que indican las señales de destino serían más largas que las distancias reales a recorrer ;)

    2. MIRA PARA DIBUJAR UNA CURVA EN AUTOCAD TIRA PRIMERO LAS COORDENADAS DEL PC, Y DEL PT DE AHI HACES UN CIRCULO DEL PC Y OTRO DEL PT CON EL RADIO DE LA LONGITUD DE LA CURVA Y DONDE SE CRUCEN LOS CIRCULOS AHI TIENES TU CR Y AUTOMATICA,MENTE LAS COORDENADAS DE AHI TIRAS OTRO CIRCULO DESDE EL CR CON EL RADIO DE LA LONG. DE LA CURVA Y EL ARCO PASA POR TU PC Y PT PERFECTAMENTE Y YA TIENES TU CURVA DIBUJADAS SACAS TUS CONSTANTES Y CON ESO HACES UN DESMADRE DESDE EL CR A CUALQUIER PUNTO DE LA CURVA Y EVITAS TRATAR CON TANTA FARAMALLA Y ENREDOS CON LO K DICEN LOS COMENTARIOS DE ARRIBA

  53. NO TENGO MUY CLARO LO QUE ES ENTRETANGENCIA……..AUNQUE POR LO QUE TE LEI ES QUE ES LA QUE ESTA ENTRE LAS 2 TANGENTE OSEA DEL PI hasta el O esa es la entretangencia si lo explicas chever o resaltalo en el grafico para entenderte mejor porfa

    1. La entretangencia es entre el PT de una curva y el PC de la siguiente. Perdón por no tener un gráfico para explicarlo. De todos modos, para que quede claro, la entretangencia es la parte recta entre dos curvas. Nada de PI, ni O, ni cuerdas, sólo la línea que val del PT al PC.

  54. hola buenas alguien me podria explicar, porque al aplicar los calculos para obtener los elementos de una curva circular simple, tomando las ecuaciones expuestas en este articulo, o cuaquier libro de ingenieria los resultados son satisfactorios,
    pero al tomar un programa de diseño como lo es eaglepoint, y o vias
    los elementos coinciden menos la longitud de la curva, y al darme otro valor en la longitud ,pues me cambian las abcisas de pc, y pt
    alguien sabe porque?

  55. Donde ubico mi ángulo de deflexión. Si mi trazo de carretera va de DERECHA a IZQIERDA. (B<—A). Mi angulo de deflexión iría en este caso al lado izqierdo de todo el trazo?

    1. Hola Vlandro,
      El ángulo de deflexión siempre se mide desde la prolongación de la tangente de entrada hasta la tangente de salida y en el sentido más corto (ver https://doblevia.wordpress.com/2007/07/18/introduccion-a-la-medicion-de-angulos-horizontales/ para más información).
      Imagina que vas caminando por el trazado de la carretera, cuando llegues a un punto donde el trazado cambie de dirección (como si llegaras a una esquina de una calle), el ángulo de dirección te indica si debes girar a la izquierda o la derecha para seguir el camino.
      Lo más común es que en un trazado cualquiera aparezcan deflexiones a izquierda y a derecha. Por lo tanto si tu “trazo de carretera va de derecha a izquierda (B<-A)", no necesariamente la deflexión es a la izquierda.
      Para empezar, si solo tienes dos puntos (B y A) no aparece ninguna curva, pues solo hace falta una recta para unir los dos puntos. Necesitas un punto intermedio, el punto de inflexión, en donde el alineamiento cambia de dirección. Es allí donde puedes medir el ángulo de deflexión.
      Supongamos que B está al suroeste de A (a la "izquierda" y "abajo", si pones el norte apuntando hacia arriba), y hay un punto P, de inflexión, directamente al sur de A (siguiendo con la misma referencia, forma una línea vertical desde A). En ese caso la deflexión de la curva será a la derecha (independientemente de si P está al sur o al norte de B).
      Si el abscisado avanzara al revés (de B hacia A), el ángulo de deflexión sería el opuesto del caso anterior; y hacia la izquierda.
      Una clave: el ángulo de deflexión nunca es mayor a 180°, si lo fuera, es porque se está midiendo en el sentido equivocado.

  56. ola tengo una duda espero me puedas ayudar tengo una poligonal donde me pide diseñar dos curvas cirulares simples con lo siguiente PI1: K3+340.45 PI2: K3+385.60 MI D1: 55° MI D2: 45° V: 60 K/H CU 10 ESO ES LO Q TENGO el dilema es q tengo q hayar un radio para cada curva teniendo encuenta la entretangencia q hay entre curvas y es una entretangencia de 45.15 puedo hayar el radio por alguna formula ya q la formula de tangente no me sirve ya q tampoco la conosco la tangentre solo tengo esos datos espero me des una orientacion gracias

    1. Hola Andrea!
      Normalmente el radio sale de las especificaciones dictadas por los manuales de diseño en función de la velocidad de diseño (los 60 km/h que tienes) y la categoría de la vía. Por ejemplo, según el Manual de Diseño Geométrico del INVIAS (Colombia), para una carretera principal o secundaria, una velocidad de diseño (específica de la curva horizontal) de 60 km/h y un peralte de 8%, deberías usar un radio de por lo menos 113 m (a medida que el peralte es menor, el radio mínimo aumenta).
      Sin embargo, considerando la distancia entre PI1 y PI2 tan corta que tienes (esa distancia no es la entretangencia, que es el espacio recto que quede entre las dos curvas, una vez diseñadas), no te cabrían dos curvas de esas dimensiones en esa porción del alineamiento. Inicialmente yo pensaría que el trazado del alineamiento horizontal no está acorde con esa velocidad de diseño, pero no conozco el contexto (la topografía, geología, desarrollo urbano, uso de la vía, vehículo de diseño, presupuesto, localización, etc.). Por lo tanto, si una combinación de esos elementos contextuales determina que es obligatorio quedarse con ese alineamiento, lo aconsejable es calcular el radio a partir de una tangente determinada.
      Por ejemplo, puedes decidir no dejar entretangencia (o sea, que la segunda curva empiece inmediatamente al final de la primera curva. Si las dos deflexiones son en el mismo sentido quedarías entonces con una curva compuesta. Si son de sentido contrario no se recomienda dejar las dos curvas seguidas porque no habría espacio para desarrollar la transición de los peraltes respectivos y, por ende, sería más insegura la vía) y determinar las tangentes para cada curva según el espacio disponible. En ese caso simplemente divides la distancia entre PIs “arbitrariamente”. Para que el diseño sea más consistente (que la velocidad de diseño específica no cambie demasiado) es recomendable que la curva con mayor deflexión tenga una tangente mayor. Digamos que entonces dejas 25,15 m de tangente para la curva de mayor deflexión y 20 m para la segunda. A partir de los valores de las tangentes ya puedes calcular los radios respectivos usando las fórmulas del artículo:
      R = T/Tan(D/2)
      R1 = 25,15 m / Tan (55/2) = 48,31 m
      R2 = 20 m / Tan (45/2) = 48,28 m
      Después puedes continuar los cálculos restantes. De todos modos, ten en cuenta que bajo las especificaciones de cualquier manual moderno esas curvas (asumiendo un peralte máximo de 8%) difícilmente permitirían velocidades de diseño específicas de más de 40 km/h.

  57. hola, como hago para calcular las coordenadas del PC, PT y F; dada las coordenadas del vertice ( norte: 2550,700; este: 895,800 )y el azimut de entrada a la curva es 75,5080g

    1. Hola! Necesitas determinar el radio de curvatura (normalmente a partir de una velocidad de diseño, la topografía del terreno y las características de la vía) y el ángulo de deflexión primero. Después calculas la tangente y sigues las instrucciones del artículo para calcular las coordenadas.

  58. hola nuevamente! necesito saber la demostración matematica que porque el angulo de deflexion es igual al angulo central, por favor una ayudita… gracias

    1. A ver si no es muy confuso:
      1. Debes aceptar el postulado de que una recta tangente a un círculo es perpendicular al radio del mismo círculo, es decir, es perpendicular a una recta que pasa por el centro del círculo (forman un ángulo recto en el punto de tangencia). En una curva circular simple el PC es el punto de tangencia entre la tangente de entrada y el círculo que forma la curva, mientras que el PT es el punto de tangencia entre la tangente de salida y el mismo círculo.
      2. Dibuja los dos radios que forman el ángulo central (las líneas que unen el PC y el PT con el centro) y trasládalos al punto de inflexión (PI). O sea, dibuja una línea perpendicular a la tangente de entrada y otra perpendicular a la tangente de salida, las dos que pasen por el PI. Prolonga las tangentes (de entrada y salida) para que se crucen completamente con esas dos líneas.
      3. Revisa los postulados euclideanos de ángulos entre paralelas y el de ángulos opuestos por el vértice. Mira la figura: Demostración: El ángulo interno de la curva es congruente (igual) con el ángulo de deflexión

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