Rumbo y Azimut

Este artículo no será actualizado como indican las notas que en él aparecen. En su lugar serán creados dos artículos separados que le invito a seguir. El primero tratará de la Introducción a la medición de ángulos horizontales, y el segundo más específicamente sobre rumbos y azimutes. La idea es exponer los conceptos de manera más clara y entendible. Gracias por su comprensión.

Un ángulo debe tener tres características:
elementos de un angulo

  1. Referencia: Desde dónde se mide.
  2. Amplitud: La magnitud medida del ángulo («el número» para ser más explícito).
  3. Sentido: A partir de la línea de referencia, hasta dónde se mide.

Los ángulos horizontales son una de las cinco mediciones que se realizan en topografía plana (Ver capítulo 2), dentro de ellos podemos encontrar:

  • Ángulos internos (en un polígono cerrado)
  • Ángulos externos (en un polígono cerrado)
  • Ángulos derechos (medidos en el sentido de las manecillas del reloj)
  • Ángulos izquierdos (medidos en contra del sentido de las manecillas del reloj)
  • Ángulos de deflexión (medidos desde la prolongación de una línea hasta la siguiente, pueden ser izquierdos o derechos)

Clases de angulos

Referencia

Para medir ángulos se pueden tomar tres tipos de líneas de referencia:

1. Magnética

Nuestro planeta está rodeado por un campo magnético cuyo origen es aún discutido. Se cree que se origina en las corrientes de la región ígnea de la Tierra, como consecuencia del movimiento de partículas cargadas eléctricamente, o, probablemente, son las corrientes de convección que se originan por el calor del núcleo. Quizás el campo magnético terrestre sea el producto de la combinación de las corrientes de convección con los efectos de la rotación terrestre.1
Campo magnetico de la Tierra
Sea cual sea su origen, el campo magnético de la Tierra ha tenido una importancia capital en la topografía, ya que hace que el planeta se comporte como un gran imán cuyo polo sur se encuentra al Norte del planeta y, por lo tanto, que el polo norte de una aguja imantada (brújula) señale desde cualquier parte hacia el Norte magnético de la Tierra, brindando una línea más o menos estable para tomar como referencia. Esa línea va a estar determinada por el punto desde el que se este realizando la observación (estación) y el Polo Norte Magnético.

Los Polos Magnéticos se definen como el punto en la superficie de la Tierra donde las líneas del campo magnético son perpendiculares a la superficie terrestre. La mayoría de brújulas señalan el Polo Norte Magnético, que actualmente se ubica sobre territorio canadiense, cerca de 1 800 km al Sur del Polo Norte Geográfico.

El campo magnético de la Tierra está sujeto a variaciones seculares (a lo largo de las eras geológicas), anuales, e incluso diarias (también se producen inversiones magnéticas que consisten en cambio diametral de la posición de los polos magnéticos); razón por la cual en la actualidad no se utiliza extensamente la norte magnética como referencia en levantamientos de precisión.

2. Geográfica

Los Polos Geográficos de la Tierra se definen como los puntos en su superficie que se cortan con el eje de rotación del planeta.. El Norte Geográfico es usado con más frecuencia en la actualidad como referencia para medir ángulos, pues no presenta variaciones como las de los polos magnéticos, el inconveniente es que debe estar señalado con puntos establecidos con levantamientos de altísima precisión, o ser medido con GPS.

Este artículo es por ahora un esbozo, cuando tenga un tiempito lo termino, sin embargo, lo publico así porque lo que está escrito hasta ahora sirve como introducción. Gracias y disculpen la molestia. :D

En vista de la acogida que ha tenido el artículo he decidido ampliarlo un poco más, en especial para dar respuesta a las preguntas de Estefanía Vera que aparecen en la sección de comentarios. Sin embargo, me voy a saltar un poco el orden para llegar a los temas que ella menciona. Toca esperar otro rato para que el artículo esté completo y bien estructurado. Les pido disculpas :)

Rumbo

El rumbo de una línea es el ángulo horizontal agudo (<90°) que forma con un meridiano de referencia, generalmente se toma como tal una línea Norte-Sur que puede estar definida por el N geográfico o el N magnético (si no se dispone de información sobre ninguno de los dos se suele trabajar con un meridiano, o línea de Norte arbitraria).
Como se observa en la figura, los rumbos se miden desde el Norte (línea ON) o desde el Sur (línea OS), en el sentido de las manecillas del reloj si la línea a la que se le desea conocer el rumbo se encuentra sobre el cuadrante NOE o el SOW; o en el sentido contrario si corresponde al cuadrante NOW o al SOE.
Como el ángulo que se mide en los rumbos es menor que 90° debe especificarse a qué cuadrante corresponde cada rumbo.

Rumbo y azimut

Por ejemplo en la figura las líneas mostradas tienen los siguientes rumbos:

Línea RUMBO
OA N30°E
OB S30°E
OC S60°W
OD N45°W

Como se puede observar en la notación del rumbo se escribe primero la componente N o S del cuadrante, seguida de la amplitud del ángulo y por último la componente E o W.

Azimut

El azimut de una línea es el ángulo horizontal medido en el sentido de las manecillas del reloj a partir de un meridiano de referencia. Lo más usual es medir el azimut desde el Norte (sea verdadero, magnético o arbitrario), pero a veces se usa el Sur como referencia.
Los azimutes varían desde 0° hasta 360° y no se requiere indicar el cuadrante que ocupa la línea observada. Para el caso de la figura, las mismas líneas para las que se había encontrado el rumbo tienen el siguiente azimut:

Línea AZIMUT
OA 30°
OB 150°
OC 240°
OD 315°

Contra-rumbo y Contra-azimut (Rumbo o azimut inverso)

Cuando se desea conocer la dirección de una línea se puede ubicar un instrumento para medirla en cualquiera de sus puntos extremos, por lo tanto se llaman rumbo y azimut inversos a los observados desde el punto contrario al inicial. Para que quede más claro, si en el ejemplo de la figura se midieron primero los rumbos y azimutes desde el punto O (líneas OA, OB, OC y OD), el contra-rumbo y contra-azimut de cada línea corresponde a la dirección medida en sentido opuesto, desde cada punto hasta O (líneas AO, BO, CO y DO).
Cuando se trata de rumbos, para conocer el inverso simplemente se cambian las letras que indican el cuadrante por las opuestas (N <-> S y E <-> W). De manera que para la figura se tiene:

Línea RUMBO CONTRA-RUMBO
OA N30°E S30°W
OB S30°E N30°W
OC S60°W N60°E
OD N45°W S45°E

Contra-azimutPor el contrario, si se trata de azimutes, el inverso se calcula sumándole 180° al original si éste es menor o igual a 180°, o restándole los 180° en caso de ser mayor.

Contra-Azimut = Azimut ± 180°

Para la figura mostrada se observan los siguientes azimutes inversos:

Línea AZIMUT CONTRA-AZIMUT
OA 30° 30°+180° = 210°
OB 150° 150°+180° = 330°
OC 240° 240°-180° = 60°
OD 315° 315°-180° = 135°

Vale la pena volver a decir que en ningún caso un rumbo (o un rumbo inverso) puede ser mayor a 90°, ni un azimut (o contra-azimut) mayor a 360°.

Conversión de Rumbo a Azimut

Para calcular azimutes a partir de rumbos es necesario tener en cuenta el cuadrante en el que se encuentra la línea. Observando la figura anterior se puede deducir la siguiente tabla:

Cuadrante Azimut a partir del rumbo
NE Igual al rumbo (sin las letras)
SE 180° – Rumbo
SW 180° + Rumbo
NW 360° – Rumbo

Se puede comprobar revisando los valores que aparecen en la figura.

Conversión de Azimut a Rumbo

Observando también la figura se ve que el cuadrante de la línea depende del valor del azimut así:

Azimut Cuadrante Rumbo
0° – 90° NE N ‘Azimut’ E
90° – 180° SE S ’180° – Azimut’ E
180° – 270° SW S ‘Azimut – 180°’ W
270° – 360° NW> N ’360° – Azimut’ W

Cálculo de Azimutes en poligonales

Calculo azimutUna poligonal, sea abierta o cerrada, es una sucesión de distancias y direcciones (rumbo o azimut) formadas por la unión de los puntos en los que se armó el instrumento que se usó para medirlas (puntos de estación). Cuando se ubica el instrumento en una estación se puede medir directamente el azimut de la siguiente línea a levantar (si se conoce la dirección del N o si se “sostiene” el contra-azimut de la línea anterior), sin embargo, en ocasiones se mide el ángulo correspondiente entre las dos líneas que se intersectan en el punto de estación (marcando “ceros” en el ángulo horizontal del instrumento cuando se mira al punto anterior), a este último ángulo se le va a llamar “ángulo observado”.

Si el ángulo observado se mide hacia la derecha (en el sentido de las manecillas del reloj, que es el mismo en el que se miden los azimutes) se puede calcular el azimut de la siguiente línea con la siguiente expresión:

Azimut línea siguiente = Contra-azimut de la línea anterior + Ángulo observado

Se debe aclarar que si el resultado es mayor a 360° simplemente se le resta este valor.

En la figura se observa que si el azimut conocido corresponde al de la línea AB (ángulo NAB en rojo), por lo tanto el contra-azimut es el ángulo NBA (también en rojo). El ángulo observado, medido en el sentido de las manecillas del reloj con el instrumento estacionado en el punto B es el ángulo ABC (en verde). El azimut que se desea conocer es el de la línea BC (ángulo NBC en azul). Por lo tanto se tiene la siguiente expresión:

Azimut BC = Contra-Azimut AB + Ángulo observado en B

Azimut BC = <NBA + <ABC

Como es evidente que el resultado será mayor que 360° (en este caso en particular) entonces el azimut de la línea BC será:

Azimut BC = (<NBA + <ABC) – 360°

Esta expresión es válida sólo si el ángulo observado está medido en el mismo sentido del azimut (derecha), sin importar si es interno o externo.

Si se trata de calcular rumbos se pueden luego convertir los azimutes calculados de la forma anterior.

Notas

1. Wikipedia, la enciclopedia libre. Campo magnético terrestre

Bibliografía

Paul R. Wolf y Russel C. Brinker. Topografía. Novena Edición. Alfaomega. México, 1997

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197 comments

  1. Hola..me llamo Carolina tengo 19 años estudio Ing. Civil, soy de Venezuela, 1ero que nada esta muy buena la pagina, te queria preguntar cual es la diferencia entre le norte magnetico y el norte geografico?..y que mide la brújula?..el norte magnetico y el geografico siempre son iguales?

    1. 1. El norte magnético es el que apunta la brújula y está sujeto a variaciones por diversos factores en la tierra.

      2.El norte geográfico es el norte real o verdadero, un punto no visible. La estrella Polar de la constelación Ursa Minoris (Osa menor) es circumpolar es decir está muy cercana al norte magnético y sirve para localizar aproximadamente el norte real.

      La diferencia que existe entre estos dos nortes se conoce como Declinación magnética y de acuerdo al lugar en donde te encuentras será su valor dado en grados minutos y segundos.

  2. @ Carolina De Andrade: Muchas gracias ;) La pregunta está más bien fácil:
    El Norte magnético, como dice en el post, es el punto sobre la superficie al norte del planeta donde las líneas del campo magnético de la Tierra es perpendicular a la superficie (Si miras el dibujo corresponde al polo sur del imán al que se asemeja nuestro planeta).
    El Norte geográfico, como también dice arriba, es el punto sobre la superficie al norte del planeta (me refiero a “arriba del Ecuador”) donde el eje de rotación de la Tierra se corta con la superficie (imagínate un Globo Terráqueo :) ).
    A la diferencia angular entre el norte geográfico y el magnético se le conoce como Declinación magnética, y es el ángulo entre los dos, medido desde el geográfico, puede ser hacia el Este o el Oeste. En Colombia (más exactamente en Ibagué, Tol) un valor común para la declinación magnética es 10ºW; sin embargo hay que tener en cuenta que el norte magnético sufre variaciones (grandes variaciones -ver el post-) en el tiempo debido a que el campo magnético de la Tierra no es constante.
    Como la brújula es simplemente una aguja imantada señala el Norte magnético, el geográfico no lo puede señalar porque no se genera una atracción hacia él; algunas brújulas, muy raras por cierto, señalan el Sur magnético.
    Evidentemente si has leido hasta acá ya sabes que el Norte magnético y el geográfico no son siempre iguales; de hecho en este momento el Polo Norte Magnético está 1800 km al Sur del Polo Norte Geográfico, en Canadá, mientras el geográfico está en el Ártico. Existe una línea en la Tierra en la que coinciden los dos Nortes, es decir, donde la declinación magnética es cero y se conoce como “línea agónica”, pero eso ya te lo dejo para que sigas averigüando ;)

  3. Hola amigo soy de venezuela mi nombre es gerardo Quiero hacerte una pregunta ¿cual es la diferencia entre norte verdadero y norte magnetico?

  4. @Gerardo: Por favor lee los comentarios 3 y 4, recuerda que Norte verdadero y Norte geográfico son la misma cosa.
    @Carolina: Para eso estamos ;)
    ——-
    Quiero enviar un saludo especial a la gente de Venezuela, especialmente los estudiantes de Ing. Civil que siempre tenemos la oportunidad de conocer en congresos y simposios realizados en Colombia :D

    1. buenas buenas… los polos geográficos son los extremos del eje de rotación de la tierra, el extremo norte se denomina polo norte y está situado a 90° (grados) latitud norte y a diferencia del polo sur que está 90° latitud sur, ambos son equidistante al ecuador de la tierra.

      ( El polo norte de encuentra situado en el océano glacial ártico)
      ( El polo sur se encuentra situado en el centro de la Antártida)

      por otra parte los polos magnéticos… por ejemplo el polo norte magnético se encuentra en la isla bathurst en el norte de canada a unos 1600 km del polo norte geográfico y el polo sur magnético se encuentra cerca de la tierra de Adelia de la Antártida a unos 2600km del polo sur geográfico.

  5. hola chicos de colombia en especial a compañera carolina, bueno soy de peru me guatari contactarme con la compañera carolica y si tienes la oprtununidad agregame para mi seras una ayuda en el campo de la topografia el curso que me interesa mas esperoo tu respuesta chau.

  6. @Isaí: Algunas brújulas traen impreso el Este a la izquierda y el Oeste a la derecha (contrario a como se indican normalmente los puntos cardinales) y son brújulas en las que se pueden tomar medidas directas de rumbos. Como la aguja siempre señala el Norte (magnético), si se dirige una visual hacia el Este (es decir, hacia la derecha del N) la aguja queda ahora a la izquierda (de la visual), pues sigue apuntando hacia el N; entonces, al tener las marcas invertidas el ángulo que se lee es directamente un rumbo NE (porque el E está a la izquierda en el círculo de la brújula).
    Otra cosa: es probable que en el hemisferio Sur algunas brújulas apunten al Sur magnético (no que tengan los polos invertidos) y por lo tanto marquen azimutes desde el Sur.
    Para eliminar errores en mediciones con brújula lo más común es medir el azimut de una línea y enseguida el contra azimut desde otro punto de la misma línea. De todas maneras la declinación magnética no se puede medir con una brújula, a menos, que estés apuntando la visual a una línea que señale el Norte geográfico.
    Siento mucho si no te respondo tus cuestiones particulares de geología, pero es que no tengo conocimientos específicos en esa área.

  7. hola estoy realizando un deber y quisiera saber como se calcula el rumbo y azimut, tambiem quisiera saber que es un angulo horizontal y de deflexion

    1. el azimut lo mides a partir de tu norte magnético hacia el primer punto de tu trabajo, en sentido horario … es decir se empiezas en un punto A giras la parte movible del teodolito hacia la derecha hasta ubicar tu siguiente punto el B ! lees el angulo horizontal… Ojo Antes De Hascer Eso Tienes que el horizontal en cero y antes de girar lo sueltas !

      1. Perdon Martin, pero el ANGULO DE DEFLEXION es el que se mide observando el punto atras, dando “vuelta de campana” para obtener la prolongacion de la linea, y girando hasta ver el punto siguiente, el angulo obtenido es el angulo de deflexion, y puede ser deflexion derecha (sentido horario), o deflexion izquierda (sentido antihorario).

  8. tambien deseo saber sobre el levantamiento con brujula y cinta .Como se los realiza? porfavor respondeme los mas pronto posible…

  9. hola que tal es muy buena me llamo heber soy de venezuela estudio ingeneria en produccion animal ahora estoy viendo topografia y mi duda es referente al norete franco y al sur franco, eso que me puede repreentar gracias

  10. @ Estefanía: Qué pena contigo por la demora, por favor discúlpame, pero estaba contestando el comentario y se borró lo que había escrito, pero te aseguro que de esta tarde no paso. Espérame unas horas :D Por ahora, revisa los primeros tres párrafos de esta entrada porque ahí dice qué es un ángulo horizontal y uno de deflexión.

    @Heber: Esa expresión no se oye demasiado aquí en Colombia, sin embargo, hace referencia al mismo Norte Geográfico (o verdadero), así que revisa más arriba en el post. :) El Norte Geográfico sería una línea que una un punto cualquiera desde el que se esté haciendo la observación con el Polo Norte Geográfico; y el Sur Geográfico sería el correspondiente al Polo Sur Geográfico.

  11. @Estefanía: Sobre el levantamiento con brújula y cinta debes tener en cuenta que si vas a levantar una poligonal tienes que medir el azimut y el contra-azimut de cada línea. El primero si ubicas la brújula en el primer vértice de la línea, y el segundo si te ubicas en el vértice siguiente. Las distancias las mides con cinta, cuidando de no tomar medidas muy largas y asegurándote de que tengan un buen alineamiento.
    Con las lecturas de la brújula sobre azimutes directos e inversos se pueden calcular los ángulos internos (algo similar a lo que aparece en el post en “cálculo de azimutes en poligonales”).
    Finalmente debes comparar los azimutes y los contra-azimutes para encontrar aquella línea en la que tengan menor diferencia (o coincidan exactamente) y empezar desde ese para que, conociendo ya los ángulos internos, recalcules los azimutes (o rumbos) de todos los lados de la poligonal.
    Cuando haces un levantamiento de este tipo y quieres calcular el área lo más sencillo es que dibujes un plano a escala de la poligonal y la dividas en figuras geométricas simples (triángulos y trapecios) y calcules su área individualmente; luego el área de la poligonal será la suma de cada una de las que dividiste.

    ——–

    Sobre las carteras (libretas) de campo y oficina, las primeras deben contener toda la información que se toma en el terreno: las medidas, el croquis, las observaciones, etc.; mientras que las de oficina incluyen los cálculos que se realizan a partir de los datos recogidos en campo.
    Por ejemplo, para un levantamiento por poligonales una cartera de campo incluye las medidas de las distancias y los ángulos internos o externos de los lados del polígono. Después esa información sirve de base para la cartera de oficina que incluye los cálculos de los azimutes, las proyecciones y las coordenadas de las líneas y los puntos observados en el campo.

  12. @ Walther: Eso depende de ti! Cada persona aprende de una manera diferente, hay quienes necesitan hacer muchos ejercicios, otros deben reescribir lo que les explicaron, algunos tienen que esquematizar lo que vieron, en fin, son muchas las posibilidades y me queda muy difícil saber de qué manera aprendes tu.

    Lo que te recomiendo es que releas el artículo y te ayudes con más bibliografía, luego puedes poner un comentario con una pregunta puntual de lo que no hayas entendido y con mucho gusto trataré de responderla.

    Reconozco que al post le falta algo de claridad, sobre todo por la organización que tiene y porque faltan algunos ejemplos, pero te puedes ayudar leyendo en muchos otros libros y páginas.

    También podría ayudarte mucho una práctica de campo. Salir con una brújula en la mano y observar qué es lo que mide. Sin embargo, por ahora no te puedo ayudar mucho con eso.

    Mucha suerte y no te olvides de preguntar cualquier cosa :)

  13. A partir de julio este artículo será dividido en dos, uno llamado “Introducción a la medición de ángulos horizontales”, que ya está disponible, y otro que se titulará “Dirección de una línea (Rumbo y Azimut)”, que en este momento estoy haciendo.
    Agradezco que, de ahora en adelante, los comentarios sean hechos en cada uno de los posts individuales.
    De todos modos este artículo no será borrado por la cantidad de comentarios provechosos que tiene, gracias a las preguntas que ustedes han dejado :)

  14. HOLA !

    ME GUSTARIA SABER SI TIENES INFORMACION SOBRE LA LONGITUD CRITICA PARA EL TRAZADO DE UNA VIA FERREA.

    CONOZCO LA NORMATIVIDAD DE LAS VIAS CONVENCIONALES, PERO SE QUE POR LAS CARACTERISTICAS DE FUNCIONAMIENTO DE LOS FERROCARRILES EXISTEN CIERTAS DIFERENCIAS EN LOS CRITERIOS DE DISEÑO ENTRE ESTAS DOS.

    YA TENGO INFORMACION AL RESPECTO, SIN EMBARGO ME FALTA ESE DETALLE; Y CREO QUE EL VALOR DE ALTURA CRITICA BAJO CIERTA PENDIENTE PARA DETERMINAR LA DISTANCIA HORIZONTAL CRITICA, NO ES LA MISMA DE LAS VIAS CONVENCIONALES SEGUN DEDUZCO DEL MATERIAL QUE HE ENCONTRADO HASTA EL MOMENTO.

    MUCHAS GRACIAS Y ESPERO RESPUESTA.

    ESTUDIANTE ING. CIVIL – UIS

  15. soy de guatemala y estudio 5to. dibujo en construccion pero tengo una duda de como pasar estos azimut 70 grados 50 minutos 50 segundos a rumbo……que ejemplos me podes dar de menos de 360 grados

  16. @Pablo Castillo: Primero que todo, debes tener en cuenta que un azimut no puede ser mayor de 360°. Si en algún cálculo resulta uno mayor simplemente se debe restar 360° al resultado, pues significa que se está dando más de una vuelta completa. De manera que todos los ejemplos de conversión de azimutes a rumbos deberían ser menores a 360°.
    Ahora, para saber cómo convertir un ángulo de azimut a rumbo, puedes revisar este post, o ingresar a uno más claro que escribí sobre el tema en https://doblevia.wordpress.com/2007/07/25/direccion-de-una-linea-rumbo-y-azimut/
    Por ejemplo, el azimut de 75°50’50” , por ser menor de 90° corresponde a una línea sobre el cuadrante NE, en cuyo caso, el rumbo es el mismo azimut, pero indicando las letras de los puntos cardinales que definen el cuadrante: N 75°50’50” E

  17. hola

    estos temas que has piblicado,me parecen muy interesante.

    yo estoy repasando topografia y tengo una pregunta que quiero que me colabores.

    como calculo los angulos internos a partir de los angulos horizontales.
    ejemplo: tengo una poligonal de 9 estaciones el primer angulo que tome fue de 1 a 9 y el resultado fue 146º48″33`y el siguiente fue de 1 a 2 y el resultado fue 272º55″59 quiero saver como hallo el angulo interno y de que depende este angulo.
    te agradezco tu colaboracion.

  18. Hola Soy Grecia Estudio 3er semestre de Ing Geodésica. quisiera pedirles informacion acerca del libro de topografía de Paul R. Wolf y Russel C. Brinker. Topografía. Novena Ediciónn quisiera saber en qué pagina lo puedo descargar por favor sería de gran ayuda.

  19. Hola Soy Grecia Estudio 3er semestre de Ing Geodésica. quisiera pedirles informacion acerca del libro de topografía de Paul R. Wolf y Russel C. Brinker. Topografía. Novena Ediciónn quisiera saber en qué pagina lo puedo descargar por favor sería de gran ayuda.

    memail.: greciachenique@hotmail.com

  20. @ Grecia: Lo mejor que puedes hacer es buscarlo en la biblioteca de tu Universidad. Si no lo tienen, seguro podrás pasar una solicitud para que lo adquieran, si consideras que para tu carrera es necesario y que es suficientemente bueno (a mi me parece que sí). Yo no tengo conocimiento de que esté disponible alguna versión en línea del libro. Por eso no te puedo ayudar como quieres.

    Lo máximo que podría hacer es prestártelo para que extractes lo que necesites. Pero creo que no estamos muy cerca. ;)

    @ Mary: Muchas gracias.

    @ Luis Valenzuela: Mil gracias. Me dan ganas de estudiar turismo aventura, por el nombre por lo menos. ¿Qué se hace allí exactamente?

  21. @Deibis Narvaez: ¡Hola! ¡Qué pena por la demora en contestar!

    En el caso que mencionas, supongo que los ángulos horizontales son azimutes medidos desde el Norte. Así, el ángulo interno del vértice 1 está dado por la diferencia de tales azimutes:

    Ángulo 1 = 272º55’59” – 146º48’33”
    Ángulo 1 = 126º07’26”

    Debes tener en cuenta todos los otros 8 ángulos para saber si efectivamente es este el que buscas o es el que completaría la circunferencia. Es decir, debes hacer un dibujo de toda la poligonal para saber cuáles son los ángulos externos y cuáles los internos.

    El ángulo interno, y la manera de calcularlo, depende del tipo de ángulos que se midan y el sentido en el que se haga. La manera más fácil de aprender a calcularlos consiste en hacer un dibujo representativo de cada vértice, en el que se ubican los ángulos que se conocen.

    Puedes leer un poco más en el artículo actualizado sobre rumbo y azimut, especialmente la sección del cálculo de azimutes en poligonales.

  22. Hola si me pudieran ayudar con una duda,

    Si tengo los siguientes datos de rumbos y distancias por ejemplo

    s 44`-38`w cada uno con sus respectivas distancias como
    s44-38w calculo el area que encierra estos datos.
    n 47 -43w
    n44-37e
    n44 -37e
    s47-41e

    gracias

  23. @Lucy: Tienes que calcular inicialmente las proyecciones de cada línea, tanto hacia el Norte como hacia el Este. Lo mejor es trabajar con azimutes, pues las proyecciones están dadas por:

    N=Distancia*Cos(Azimut)
    E=Distancia*Sen(Azimut)

    Luego de tener las proyecciones puedes calcular las coordenadas. Y a partir de las coordenadas, calculas el área que encierra la poligonal. Eso lo haces de la siguiente manera:

    * En una columna pones las coordenadas Norte y en la siguiente las E. Empiezas con las del primer punto y continúas con los demás. Al final, repites el primer punto.
    * Luego trazas unas flechas en diagonal así:
    Desde la coordenada Norte de la primera fila, hasta la coordenada Este de la siguiente fila. Luego te pasas a la segunda Norte y la unes con la tercera Este, y así hasta que llegues a la última Este.
    Y unas segundas flechas en sentido contrario, es decir, desde la primera Este a la segunda Norte, y así sucesivamente.
    * El doble del área está dada por la sumatoria de los productos que indican las flechas que van de izquierda a derecha, menos la sumatoria de los productos que indican las flechas contrarias.

    Finalmente, divides ese resultado en dos, y listo, te da el área en las unidades en las que hayas manejado las coordenadas.

    @Well: En general, se pueden calcular como el azimut de la primera línea menos el azimut de la segunda. Si el resultado es positivo se trata de un ángulo de deflexión a la derecha. Si es negativo, es a la izquierda.

    @Jose Matute y JaVa: Muchas gracias. :)

  24. hola mi nombre es victor y quisiera qu eme hicieran el favor de decirme como se encuentra la distancia topografica y el rumbo de una linea, y no solo de una sino de varias. el profe de expresion grafica me va a matar.

  25. @Víctor: Sobre rumbos habla este artículo, pero me parece que es un poco más claro este otro: https://doblevia.wordpress.com/2007/07/25/direccion-de-una-linea-rumbo-y-azimut/
    Por favor léelo y haz una pregunta más puntual.

    Ten en cuenta una cosa: en topografía la distancia entre dos puntos siempre es una línea horizontal.

    Ahora bien, si a lo que te refieres es a calcular la distancia y el rumbo de una línea, a partir de las coordenadas de sus puntos extremos, debes seguir este procedimiento:

    Supongamos que los puntos son P1 y P2; y que las coordenadas de cada uno son: P1 (N1,E1) y P2 (N2,E2). Aparecen dos catetos de un triángulo rectángulo -siguiendo la dirección del Norte y del Este, que son perpendiculares entre sí-. A uno le llamo ΔN y al otro ΔE. Cada uno se calcula con las siguientes expresiones:
    ΔN = N2 – N1
    ΔE = E2 – E1
    La longitud de la línea corresponde a la hipotenusa del triángulo. Calculada según Pitágoras como:
    D=√(ΔN^2+ΔE^2)
    La tangente del rumbo está dada por el cateto ΔE sobre el cateto ΔN:
    Tan (rumbo) = ΔE/ΔN

  26. @ Martha: Por favor perdóname por no haber contestado. Es que he estado ocupado con mi trabajo y mis estudios. Además, estoy un poco como tu. No sé con certeza qué significa los de la división de superficies a partir de un rumbo dado. Consulté con mis compañeros de trabajo, pero tenemos la misma idea:

    Creemos que es una manera de repartir predios, en casos como un proceso de sucesión. Sin embargo, no necesitarías sólo un rumbo, sino también un punto por el cual pase esa línea de rumbo dado. Efectivamente, después de conocer eso, se trata de calcular las áreas resultantes, de manera que la repartición sea equitativa.

    Lamento mucho no poder ayudarte con más precisión. ;)

  27. hola por fa necesitaba que me ayudaran a consegir una explicacion mas preciso de como se calcula de areas por coordenadas polares pero en topografia. por favor…..

  28. Creo que la informaciòn que se presenta es muy completa y explicita.
    Lo saca de apuros, con las tareas de mis hijos.

    Gracias mil y sigan adelante

    Manuel Solis
    Guatemala

  29. Ola estudio arquitectura tecnica en cartagena y quisiera saber como resolver un ejercicicio segun la informacion de un mapa. Me preguntan el dia de que año pasara por el centro de la hoja de una linea agonica , quisiera saber si hay alguna formula o proceso por el ke acerlo aunque sea en forma de ejemplo gracias

  30. Hola chicos de doble via tengo 19 años soy d Bolivia y estudio Ing civil, queria decirles q esta muy buena la informacion, nos sirve de mucho a varios, gracias, y tambien queria preguntarles sobre la brujula azimutal y rumbiodal.
    Ahh tambien les queria decir si cualquiera de ustedes me pueden agregar, ya q tengo varias dudas sobre topografia, q es la materia q estoy llevando, y asi me podrian ayudar un poco mas, porfa.
    Espero su respuesta gracias
    Andrea
    Tarija- Boliva

  31. @ Tamara: Si te dan un rumbo de 342,7º seguro que algo anda mal porque el rumbo no puede ser mayor a 90º y se deben indicar las letras del cuadrante correspondiente. Suponiendo que sea un azimut magnético el que tengas, necesitas saber si la declinación es hacia el E u W para determinar si se la sumas o restas para calcular el azimut verdadero.

  32. QUISIERA QUE ME MANDE EJERCICIOS RESUELTOS DE EL RUMBO Y EL AZIMUT. ESTOY ESTUDIANDO TOPOGRAFIA Y NESESITO SU AYUDA EN ESTA CARRERA, QUE ES NUEVA PARA MI

  33. Que tal, tal vez mi pregunta sea demasiado complicada pero espero que alguien me pueda ayudar….¿ Quisiera saber por que el azimut geodesico directo y el inverso no son iguales?; ojo no estoy hablando de topografia sino de geodesia.

  34. buena explicacion! mi estimado. sin embargo tengo algo “no claro”. Puedes explicar… y cual o como hago cuando tengo una brújula geóloga, es decir, tengo los polos este-oeste invertidos… q hago???
    A mi me han dicho q la brújula geóloga es la más óptima para el uso por… pero arriba cuandot refieres a la brujula geografa t estas refiriendo a la geóloga, porque tenlo claro son distintas! o sea van a presentar en un mismo lugar rumbos y azimuts distintas… por favor sácame de la duda!

  35. estudio en peru y quiro saber si hoy es todavia necesario el uso de la brujula en el levantamiento topografico apesar de los avances de la tecnologia de construccion ,poque
    unsch

  36. Buenas Tardes:
    me gustaria saber si me puedes brindar algunas definiciones acerca la topografia como las herramientas utilizadas para la ingenieria civil, enque consiste el error de medicion y su definicion, prolongacion y alineamiento, el alineamiento de dos puntos, medicion del angulo que forman 2 lineas, implantacion de un angulo en el terreno, convercion d rumbo-angulo interior de un poligono y la descripcion de un trancinto?
    la verdad estoy pidiendo de masiado ( lo se)
    pero en verdad necesito esta informacion
    adios y gracias de antemano

  37. SI TENGO UNA POLIGONAL ABIERTA Y ESTOY SACANDO LOS ANGULOS DE DEFLEXION SIEMPRE TENGO QUE SEGUIR EN EL SENTIDO HORARIO ASI SEA EL ANGULO MAS GRANDE,O SI LO AGO EN EL OTRO SENTIDO (ANTI HORARIO)ESTA BIEN?

  38. Buen día para todos:

    Siento mucho no contestar todos los comentarios que nutren este post. Es que últimamente no he podido dedicar tiempo al crecimiento del blog. Les ruego me disculpen.
    De todos modos, los invito a revistar los siguientes artículos: https://doblevia.wordpress.com/2007/07/18/introduccion-a-la-medicion-de-angulos-horizontales/ y https://doblevia.wordpress.com/2007/07/25/direccion-de-una-linea-rumbo-y-azimut/
    De igual manera les informo que no dispongo de ejercicios resueltos, por ello no los puedo publicar. Además, el disco duro de mi portátil se dañó hace unos meses y perdí toda la información que tenía. Por eso no tengo, por ahora, más tópicos aparte de los publicados acá.
    Aquí van algunos apuntes chiquitos respecto a los comentarios hechos:
    * El uso de la brújula en levantamientos topográficos es cada vez menos usual. El GPS actúa como su reemplazo, gracias a la disminución en el costo de estos aparatos. Sin embargo, la brújula sigue siendo una buena opción en lugares donde el alcance de los satélites es limitado.
    * Los ángulos de deflexión se miden tanto a la izquierda como a la derecha, es decir, en sentido horario o antihorario. Entre dos líneas sucesivas, el ángulo de deflexión siempre es menor a 180°, por lo tanto, se debe escoger el menor entre el ángulo a la derecha y el de la izquierda.
    Gracias por su comprensión

  39. Hola, soy de Bogotá, Colombia; estudiante de Ingeniería Cívil de la Universidad Nacional de Colombia. Sólo quería pasar a saludar y comentar que me parece que en ésta página se explica muy bien la definición de Azimut, Rumbo, etc. Gracias por la aclaración.
    Y los invito a continuar con la implantación de esta clase de sitios web. Qué estén muy bien. Un saludo especial a todos los ingenieros civiles y estudiantes. Gracias. Adiós.

  40. HOLA DOBLE VIA SOY DE PERU TOPOGRAFO .ME PARECE BUENO QUE ESTES AYUDANDO A OTROS JOVENES EN SUS PROBLEMAS DE TOPOGRAFIA TE OFREZCO TAMBIEN MIS CONOCIMIENTOS SI LO CREES NECESARIO YA QUE A VECES UNO NO SABE TODAS LAS RESPUESTAS COMUNICATE CONMIGO INMEDIATAMENTE TE DE JO MI CORREO ,MI FUERTE ES EL TRAZO Y DISEÑO GEOMETRICO DE CARRETERAS,LINEAS FERREAS Y CANALES DE RIEGO POR GRAVEDAD SI TUVIERAS ALGUNA DUDA ESTOY PARA SERVIRTE SALUDOS ANTONIO AVILA RUIZ

    1. AMIGO PARA OBTENER GRADOS MINUTOS SEGUNDOS EN PLANO DE TOPOGRAFIA ME UBICO CON LAS COORDENADAS NORTE U.T.M. TENGO QUE UBICAR UN PUNTO EN LA COORDENADAS NORTE

  41. Hola amigos:

    Gracias por la oportunidada de dirigirme a Uds , la pregunta es como convierto un valor de norte de cuadricula al norte verdadero , de igual manera como convierto un norte magnetico al norte verdadero.

    Saben por que???????? Hace mas de 2 años estamos notando una cierta variacion en las poligonales que hemos hecho y las que estamos haciendo , estas poligonales se han realizado en Interior Mina como en superficie , las cuales saltan como error siempre hacia el coordenadas Este ( Longitud) , se hizo una misma poligonal , en diferentes fechas ( años) y ahi es donde salta esos errores y especialmente en los valores de ESte ( E_W) , por lo tanto creo YO que sucede por que no estoy convirtiendo el norte de Cuadricula (UTM) al norte verdadero ??????

    Gracias por la atencion prestada…….

    Estare esperando sus valiosos aportes a la solucion de mi problemaaaa de trabajo……….

    attem.

    HBR

  42. Para antonio avila , Yo tambien soy de Peru y ultimamente estoy teniendo problemas con mi trabajo de Topografo , por favor dame algun Numero telefonico o correo para poder contactarte y pedirle que despejes algunas dudas sobre problemas y casos relaes de topografia….

    Agradesco este espacio para ampliar mis conocimientos…….

    graciassssssss………..

    Espero tu respuesta ANTONIO AVILA………

    mi correo es tu_angel100@hotmail.com

  43. Mil gracias por sus comentarios y su colaboración. En realidad lo aprecio mucho, sobre todo en los últimos meses que no he estado muy dedicado al blog. De nuevo, ¡gracias!

    @hbr100: Para convertir el norte magnético a verdadero, o viceversa, necesitas conocer el valor de la declinación magnética. Esta declinación corresponde al ángulo que existe entre la norte geográfica (verdadera) y la norte magnética.
    Como te has dado cuenta, la norte magnética no se queda siempre en el mismo lugar y sufre variaciones apreciables de un año a otro. Por ello, la declinación magnética es diferente según la zona en la que te encuentres y el momento en el que la hayas medido.
    Para conocer la declinación magnética actual debes ubicar una brújula sobre un alineamiento que sepas está apuntando al norte geográfico. El rumbo de ese alineamiento será la declinación, pero con la longitud invertida (si te da Nor-Oeste, entonces la declinación es Este y viceversa).
    Para conocer la declinación magnética en el momento que hiciste los levantamientos de los años anteriores debes contactar a la entidad de tu país que se encargue de la geografía oficial. Ellos deben tener información sobre mapas de líneas isogónicas, que muestran la declinación magnética para distintos años y zonas.
    Una vez conozcas la declinación, debes sumarla o restarla de los azimutes -o rumbos-, según la dirección que tenga (Este u Oeste). Lo mejor es que hagas un dibujo de la línea y la posición de los dos Nortes.
    Espero haberte ayudado en algo.

  44. hola damas y caballeros muy educativa la pagina ,felicitaciones sigan creciendo..(pra los creadores de esta idea)
    un muy buen sitio para poder discutir distinto puntos de vista.
    la sugerencia es lasiguiente
    el uso del exel para topografia
    me gustaria saber como puedo elaborar plantilas mas interactivassss..
    o bueno me puedan ayudar a poder reducir el tiempo de trabajo de gabinete.
    o si alguien tiene una plantilla q me la comparta ….
    espero tener ayudaaaaa……
    soy de PERU

  45. hola??
    estas ahi?
    bueno mi nombre es Cecilia ante todo felicidades ta pagina esta muy bien.
    Tengo una duda sobre como debo pasar unos angulos de de una poligonal del registro de campo, a mi grafica,
    ( trabajo de gabinete)??
    me podrias ayudar??

  46. hola, soy de Bolivia, de la UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN…
    quería preguntarte si conoces la existencia de alguna página web que tenga la información de la declinación magnética de diversos países y de diversos días y años…

    que sea algo así como un buscador de declinaciones magnéticas por paises, cuidades y fechas…

  47. hola saludos, tengo una pregunta: ¿Cual es la forma correcta de compensar los rumbos hallados en un levantamiento con una brújula de agrimensor?

    Estudiante del Instituto Gilda Ballivian Rosado – Peru

  48. Hola:

    Cual es la diferencia basica entre rumbo y azimut ?

    Pareciera que es solamente que el rumbo es un angulo < 90 medido desde el norte pero que el azimut es lo mismo pero pudiendo variar hasta 360 medido desde el norte.

    Gracias por tu respuesta

  49. es de gran importancia sus articulos se lo felicita …..me gustaria que me ayudara a sobre unos temas son sobre un replanteo y tambien unas imagenes de calculos de poligonales sus coordenadas y cierre de las mismas gracias

  50. ¿Ey amigo podrias poner un ejemplo de como obtener los angulos de deflexion de una poligonal abierta… Que tenga por lo menos unos 3 o 4 vertices?

  51. Muy Buenos tus Apuntes, Te felicito. Esto es lo que andaba buscando un rato largo por la web para un examen de topografia que tengo. Desde la Isla de Margarita – Venezuela

  52. Hey! saludos, buen articulo, pude tomar nota de cosas q me faltaron en la clase de topografia, estudio ing. Civil en Venezuela… mira queria saber si casualmente tienes problemas o ejercicios de topografia para practicar, ya q por internet no consigo algo asi especifico.. el profesor nos hizo un par de “Problemas Fundamentales” de la Topografia, los entiendo bien hasta q tengo q dar con graficar… Son un par de problemas de esos q te dan dos puntos “A” y “B” con dos coordenadas por cada uno por ejemplo “A” N: 300000; E: 140000 y “B” N: 150000; E: 505000… a partir de estos datos
    Calcular la Distancia, Azimut y angulo… esos tres datos los sé cacular, ya q es sencillo… pero ahora cuando llego a “GraficaR” no entiendo bien el proceso… a ver si me puedes ayudar en este caso!.. buen dia! :D

  53. Excelente, toda esa información me es muy valiosa; el profesor de programación nos puso un trabajo de ejemplos “básicos” de GPS q es el tema del semestre…
    Pues de acá he obtenido mucha información y se los agradezco.

  54. Me dejaron un ejercicio en la U, pero solo me dan el porcentaje de la pendiente y la longiud de este, pero no nos entiendo como convertirlo en grados,¡¡¡¡ ayuda por favor¡¡¡

  55. auuuuuuuuuuuxiiiiiiiiiiiiiiiliiiiiiiiiiiiioooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo por favor alguien que se apiade de mi
    como calculño los rumbos y rumbos corregidos de una poligonal cerrada conociendo los angulos internernos……
    porfa es que no le entiendo nadita a mi profe ayudenme plis

  56. Hola, Soy Geomensor de La USACH (Chile). Escribo para felicitarte, esta bien explicado el temas de los azimutes y rumbos, podrias incluir temas como la nivelacion cerrada y compensacion de poligonales, estoy seguro que a muchos principiantes le interesaran. Reitero mis felicitaciones, un saludo, adios.

  57. muchas graias esta bien explicado pero me gustara saber como se calcula angulos horizontales … es que no lo entiendo muy bien …. deberias poner unos ejemplos… gracias … desde colombia

  58. tengo un problema mira me dan solo el azimut de una linea y el punto de inicio con sus coordenadas utm.
    me piden averigua hacia donde esta en norte magnetico.
    En el autocad land pues se puede ver el norte de cuadricula que compensado con la convergencia de cuadricula me da el norte verdadero. pero para dibujar el siguiente punto necesito saber el norte magnetico para darle lña orientacion exacta y asi tener las respectivas coordenadas utm del resto de puntos, ayudame por fa.

  59. EL SENTIDO Y DIRECCION DEL NORTE LO PUEDES COLACAR TU MISMO! LUEGO QUE LO TENGAS PUEDES GRAFICAR LOS PUNTOS QUE DESEES! TE DAN UN PUNTO VERDAD? BUENO HUBICA TU NORTE PRIMERO Y CON ESE SENTIDO BUSCA TU PUNTO. Y DESDE ALLI PUEDES GRAFICAR LO QUE DESEES. INTENTALO NO ES DIFICIL!!!!!

  60. EL SENTIDO Y DIRECCION DEL NORTE LO PUEDES COLACAR TU MISMO “EN EL PLANO GRAFICO”! LUEGO QUE LO TENGAS PUEDES GRAFICAR LOS PUNTOS QUE DESEES! TE DAN UN PUNTO VERDAD? BUENO HUBICA TU NORTE PRIMERO Y CON ESE SENTIDO BUSCA TU PUNTO. Y DESDE ALLI PUEDES GRAFICAR LO QUE DESEES. INTENTALO NO ES DIFICIL!!!!!

  61. Hola que tal, soy Alejandro Solorzano , Te interesa poner anuncios de texto en tus blog.
    Puedes ganar hasta 100 Dolares AL MES por cada blog o web.

    Le rogamos nos remita los blogs , para poder revisarlos y cualcular el nº de entradas aceptadas.

    Alejandro Solorzano

    Tel: (503) – 74532917

    Msn / Messenger : alejandromd5@hotmail.com

    Persona de contacto : Alejandro Solorzano

    Saludos cordiales.

  62. solamente, agradecer tener este tipo de blog ,nos alluda mucho sobre todo para un principiante como yo. Estoy haciendo un curso a marchas forzadas con estacion total nikon 332´´ os agradecco mucho su alluda saludos desde Huelva ESPAÑA otra cosita podrias dar tambien las formulas para poder trabajar con calculadora cientifica gracias nuevamente

  63. mi nombre es brenda y estudio arquitectura ..en mi clase de topografia me dejaron investigar los tipos de rumbo que hay me gustaria.. que me ayudaran solo tengo tres dias ..please te lo agradeceria mucho

  64. Muchas gracias por la informacion, me ha servido mucho para interpretar y realizar mis practicas de topografia en la universidad, ya que los profesores dan esto por entendido y sabido pero hay lagunas entre los estudiantes. Muchas gracias de nuevo.

  65. Quisiera saber com calculo y ajusto una cartera de una poligonal cerrada realizada con estacion total, es decir tengo los azimutes directos y debo pasarlos a los angulos observados. Como puedo hacerlo

  66. Hola, quiero darte las gracias, este tema siempre me ha producido confucion, pero con tu detallada explicacion se aclararon mis dudas, eres muy bueno explicando. te felicito.

  67. pues he revisado esta informacin y me parece super interante, ojala y puedan seguirpublicando cosas asi porque en realidad vale la pena.

  68. Estimado amigo excelente explicación pero humildemente en referencia a la afirmación siguiente ;”Los azimutes varían desde 0° hasta 360…”, permítame aclarar que dependiendo del sistema de medición que se emplee es el valor que tendrá el azimuth. es decir, si la unidad de medida es centesimal o mils, etc., tendremos por ejemplo que el equivalente al azimuth 360° será:
    1.- 6400 mils
    2.- 400° (centesimal)

    reitero mis felicitaciones!
    Jorge

  69. holaaa , soy chilena tengo 19 años, estudio construcción civil y te felicito muy buena la pagina me as aclaro varios puntos sobre la topografía en general (:, me encantaría que si hubiera a posibilidad de que me dieras tu correo para mantener el contacto por si surgieran mas dudas que no salgan aquí en tu explicación.

  70. Saludos Desde Rep Dom. soy Ing civil, muy bueno el aporte, no recordaba sobre Rumbos y Acimut. siga asi dando aportes tan valiosos y teniendo tanta paciencia. un saludo!

  71. necesito saber esto…..desde un punto B con cotaa de 290 m.ssn.m se proyecta una construccion de una via conuna pendiente del 46% bajando en direccional azimut, si la bajada preenta una distancia planimetrica (distancia horizontal de 300m, determinar
    cota final de llegada de la via
    longitua real de la via.

    realizar la grafia.

  72. tengo una duda… la verdad que me urge mucho saber la respuesta para la proxima semana… tengo un examen … bueno mi duda es … como compenso los azimuts … teniendo ya los azimut calculados … como se procede para la compensacion …

  73. hola, que tal, disculpa unmega favor! soy ing y me pidieron calcular los anguilos internos de una poligonal abierta, pero unicamente conozco los rumbos de los vertices de la poligonal al igual que las distancias solo que no recuerdo un metodo rapido o mejor dicho no recuerdo cual metodo podria utilizar, es lo malo de tener programas que nos den todo y ya no lo practicamso como tal, y ahi esta que ahora me encontre a un ing que quiere que se los calcule pero no recuerdo como.
    por fa!

  74. Hola soy estudiante de ing civil.
    por favor me podrían colaborar con esto.
    Cuando se va a calcular ángulos derechos se toma como punto inicial el rumbo de la vista atrás y desde aquí se mira en sentido de las manecillas del reloj hasta encontrar el siguiente rumbo respecto al cual se esta hallando el angulo derecho?

    gracias

  75. Buen trabajo da a conocer explicitamente la naturaleza del azimut y el rumbo, aún así me gustaria conocer más el azimut y rumbo en una poligonal abierta, me gustaria que me ayudaran a disipar algunas dudas sobre estos temas, primero el azimut de inicio debe ser igual a el azimut final en un poligonal abierta? el azimut de una práctica se halla por medio del angulo sobre el que se encuentra o sobre el observado?

  76. Quisiera saber que se entiende por: “orientación a medio rumbo”. Aclaro que soy un profesional ajeno a la ingeniería civil o a la arquitectura.

  77. Hago la pregunta por una razón muy especial. Existe un edificio, ubicado en el hemisferio sur, cuya fachada mira hacia el este.
    Ahora bien, durante el solsticio de invierno austral (21 de junio), los rayos del sol naciente forman un ángulo recto con el frente. A partir de ese momento y hasta el 21 de diciembre el sol va saliendo cada día un poco más a la derecha del observador, es decir, va moviéndose hacia el sur, hasta que llegado el 21 de diciembre, solsticio de verano austral, se detiene e invierte la marcha. Todos los rumbos de los rayos del sol naciente se verifican en consecuencia en el cuadrante SE.
    Si el sol al ir de un solsticio a otro, visto por el observador que lo contempla, realiza un ángulo de 47 ° podemos decir en consecuencia que los rayos del sol naciente van desde el rumbo S90E (¿Es lícito un ángulo de 90° o tiene que ser menor?) hasta el rumbo S43E.
    Hechas estas aclaraciones y, siendo rectangular la planta del edificio, pregunto:
    ¿ La orientación del edificio es a medio rumbo ?
    ¿ El sol ilumina todas las paredes a lo largo del día ?
    Gracias

    1. buenas tardes no se si es el medio pero me gustaria saber si conoces a alguien o algun lugar donde vendan brujulas que midan buzamiento y azimut

  78. esta buena tu explicacion, me ayudo a sacar un 10 en un final pero el uso de conceptos inexcactos para explicar el origen del campo magenetico me parece algo muy cuestionable. saludos!

  79. Hola buenas noches,,, estoy en proceso de un curso de topografia y me gustaria que me ayudaran enviandome ejercicios sobre rumbos y azimut, calculo de areas etc….

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